Calcule o comprimento do arco da curva dado nos exercícios abaixo, fazendo um esboço do arco e indicando com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
do ponto
ao ponto
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva parametrizada por
e pede o comprimento de arco entre o ponto
e o ponto
. Para resolver vamos:
- Encontrar os valores de
que geram esses pontos. - Calcular as derivadas
e . - Montar a integral de comprimento de arco
- Simplificar o integrando e avaliar a integral.
- Fazer um esboço qualitativo da curva com a seta indicando a direção de
.
Passo 2
Vamos achar
e
tais que
e
Da equação
temos
Verificando em
:
logo os extremos do arco correspondem a
e
.
Passo 3
Calculamos as derivadas
Assim a fórmula do comprimento de arco é
Passo 4
Dentro da raiz temos
Portanto
Passo 5
Como
é função par, usa-se simetria:
Passo 6
Esboço qualitativo: a curva sai de
em
, sobe passando em
para
em
. A seta deve indicar a direção de baixo para cima, pois conforme
aumenta a curva vai de
até
.
Resposta
O comprimento do arco é
.