Calcule o comprimento do arco da curva dado nos exercícios abaixo, fazendo um esboço do arco e indicando com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
lx=6 s^4-3 s^2 y=8 s^3 do ponto (3,-8) ao ponto (3,8).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada por
x(s)=6s^4-3s^2, y(s)=8s^3,
e pede o comprimento de arco entre o ponto (3,-8) e o ponto (3,8). Para resolver vamos:
  1. Encontrar os valores de s que geram esses pontos.
  2. Calcular as derivadas x'(s) e y'(s).
  3. Montar a integral de comprimento de arco
L=integrals1^s2raizl(x'(s)r)^2+l(y'(s)r)^2;ds
  1. Simplificar o integrando e avaliar a integral.
  2. Fazer um esboço qualitativo da curva com a seta indicando a direção de s.

Passo 2

Vamos achar s1 e s2 tais que
x(s)=3, y(s)=-8
e
x(s)=3, y(s)=8
Da equação y(s)=8s^3 temos
8s^3=-8implies s^3=-1implies s1=-1,
8s^3=8implies s^3=1implies s2=1
Verificando em x(s):
x(-1)=6cdot1-3cdot1=3, x(1)=6cdot1-3cdot1=3,
logo os extremos do arco correspondem a s=-1 e s=1.

Passo 3

Calculamos as derivadas
x'(s)=ddsl(6s^4-3s^2r)=24s^3-6s,
y'(s)=ddsl(8s^3r)=24s^2
Assim a fórmula do comprimento de arco é
L=integral-1^1raizl(24s^3-6sr)^2+l(24s^2r)^2;ds

Passo 4

Dentro da raiz temos
(24s^3-6s)^2+(24s^2)^2 =36s^2(4s^2-1)^2+576s^4 =36s^2l(16s^4-8s^2+1+16s^2r) =36s^2(4s^2+1)^2
Portanto
raiz(24s^3-6s)^2+(24s^2)^2 =6,|s|,(4s^2+1)

Passo 5

Como 6|s|(4s^2+1) é função par, usa-se simetria:
L =2integral0^16s(4s^2+1),ds =12integral0^1(4s^3+s),ds =12l[,4cdots^44+s^22r]0^1 =12l(1+tfrac12r) =18

Passo 6

Esboço qualitativo: a curva sai de (3,-8) em s=-1, sobe passando em (0,0) para (3,8) em s=1. A seta deve indicar a direção de baixo para cima, pois conforme s aumenta a curva vai de (3,-8) até (3,8).

Resposta

O comprimento do arco é 18.

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