[5.0] Três cargas pontuais estão situadas nos vértices de um quadrado de lado
.
a) Calcule o campo e o potencial elétrico no ponto
.
a) Calcule o campo e o potencial elétrico no ponto
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de física que fala sobre cargas elétricas. A questão diz que três cargas pontuais estão colocadas nos cantos de um quadrado com lado de comprimento $ a $. A gente precisa calcular o campo elétrico e o potencial elétrico em um ponto específico $ P $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Coulomb para calcular o campo elétrico e a fórmula do potencial elétrico para cargas puntiformes.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o quadrado e colocar as três cargas nos seus vértices. Vamos supor que o ponto $ P $ está no quarto vértice do quadrado. Isso facilita na hora de calcular as distâncias e os ângulos entre as cargas e o ponto $ P $.
Passo 3
Para calcular o campo elétrico no ponto $ P $, precisamos somar os campos elétricos gerados por cada uma das três cargas. A Lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico $ \vec{E} $ devido a uma carga $ Q $ é dado por:
onde $ k $ é a constante eletrostática ($ 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $), $ Q $ é a carga, $ r $ é a distância entre a carga e o ponto $ P $, e $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{E} $.
Passo 4
Vamos calcular a distância de cada carga até o ponto $ P $. Como o quadrado tem lado $ a $:
- As cargas nos vértices adjacentes a $ P $ estão a uma distância $ a $ de $ P $.
- A terceira carga está diagonalmente oposta, então a distância até $ P $ é $ a\sqrt{2} $.
Passo 5
Agora, vamos considerar a direção de cada campo elétrico:
- As duas cargas adjacentes geram campos que são perpendiculares aos lados do quadrado.
- A carga na diagonal gera um campo que está na direção da diagonal.
Vamos decompor esses campos nas direções $ x $ e $ y $ para facilitar a soma vetorial.
Passo 6
Calculando os componentes dos campos elétricos:
-
Para as cargas adjacentes:Essas cargas produzem campos em direções perpendiculares, que se somam nas direções $ x $ e $ y $.
-
Para a carga na diagonal:O campo dessa carga tem componentes iguais em $ x $ e $ y $:
Passo 7
Somando as componentes $ x $ e $ y $:
-
Componente $ x $:
-
Componente $ y $:
Passo 8
Agora, para encontrar o campo elétrico total, usamos o teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Passo 10
Agora, vamos calcular o potencial elétrico no ponto $ P $. O potencial devido a uma carga $ Q $ é dado por:
Como o potencial é uma grandeza escalares, podemos somar diretamente os potenciais devido a cada carga.
Passo 11
Calculando o potencial de cada carga:
-
Para as duas cargas adjacentes:Como são duas cargas, o total é:
-
Para a carga na diagonal:
Passo 12
Somando todos os potenciais:
Resposta
O campo elétrico no ponto $ P $ é:
E o potencial elétrico no ponto $ P $ é: