[5.0] Três cargas pontuais estão situadas nos vértices de um quadrado de lado a.
a) Calcule o campo e o potencial elétrico no ponto P.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de física que fala sobre cargas elétricas. A questão diz que três cargas pontuais estão colocadas nos cantos de um quadrado com lado de comprimento $ a $. A gente precisa calcular o campo elétrico e o potencial elétrico em um ponto específico $ P $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Coulomb para calcular o campo elétrico e a fórmula do potencial elétrico para cargas puntiformes.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o quadrado e colocar as três cargas nos seus vértices. Vamos supor que o ponto $ P $ está no quarto vértice do quadrado. Isso facilita na hora de calcular as distâncias e os ângulos entre as cargas e o ponto $ P $.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico no ponto $ P $, precisamos somar os campos elétricos gerados por cada uma das três cargas. A Lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico $ \vec{E} $ devido a uma carga $ Q $ é dado por:
P
onde $ k $ é a constante eletrostática ($ 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $), $ Q $ é a carga, $ r $ é a distância entre a carga e o ponto $ P $, e $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{E} $.

Passo 4

Vamos calcular a distância de cada carga até o ponto $ P $. Como o quadrado tem lado $ a $:
  • As cargas nos vértices adjacentes a $ P $ estão a uma distância $ a $ de $ P $.
  • A terceira carga está diagonalmente oposta, então a distância até $ P $ é $ a\sqrt{2} $.

Passo 5

Agora, vamos considerar a direção de cada campo elétrico:
  • As duas cargas adjacentes geram campos que são perpendiculares aos lados do quadrado.
  • A carga na diagonal gera um campo que está na direção da diagonal.
Vamos decompor esses campos nas direções $ x $ e $ y $ para facilitar a soma vetorial.

Passo 6

Calculando os componentes dos campos elétricos:
  • Para as cargas adjacentes:
    Eadj = k cdot Qa^2
    Essas cargas produzem campos em direções perpendiculares, que se somam nas direções $ x $ e $ y $.
  • Para a carga na diagonal:
    x
    O campo dessa carga tem componentes iguais em $ x $ e $ y $:
    y

Passo 7

Somando as componentes $ x $ e $ y $:
  • Componente $ x $:
    x
  • Componente $ y $:
    y

Passo 8

Agora, para encontrar o campo elétrico total, usamos o teorema de Pitágoras:
|E| = raizEx^2 + Ey^2
Substituindo os valores encontrados:
|E| = raiz(kQa^2 + kQ2a^2 raiz2)^2 + (kQa^2 + kQ2a^2 raiz2)^2

Passo 9

Simplificando a expressão:
|E| = raiz2 (kQa^2 + kQ2a^2 raiz2)^2
|E| = raiz2 (kQa^2 + kQ2a^2 raiz2)

Passo 10

Agora, vamos calcular o potencial elétrico no ponto $ P $. O potencial devido a uma carga $ Q $ é dado por:
P
Como o potencial é uma grandeza escalares, podemos somar diretamente os potenciais devido a cada carga.

Passo 11

Calculando o potencial de cada carga:
  • Para as duas cargas adjacentes:
    Vadj = kQa
    Como são duas cargas, o total é:
    Vtotal adj = 2 cdot kQa
  • Para a carga na diagonal:
    Vdiag = kQaraiz2

Passo 12

Somando todos os potenciais:
Vtotal = Vtotal adj + Vdiag = 2 cdot kQa + kQaraiz2

Resposta

O campo elétrico no ponto $ P $ é:
P
E o potencial elétrico no ponto $ P $ é:
|E| = raiz2 ( kQa^2 + kQ2a^2 raiz2 )

Exercícios relacionados