[5.0] Três cargas pontuais estão situadas nos vértices de um quadrado de lado a.
b) Qual o trabalho realizado para trazer uma carga +q do infinito até ao ponto P ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nosso exercício fala sobre três cargas pontuais situadas nos vértices de um quadrado com lado $ a $. A pergunta é: qual o trabalho necessário para trazer uma carga $ +q $ do infinito até o ponto $ P $?
Aqui, estamos lidando com Eletrostática, mais especificamente com o trabalho realizado ao movimentar cargas elétricas em um campo elétrico. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como potencial elétrico e energia potencial elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho no contexto da eletrostática. O trabalho $ W $ realizado para trazer uma carga de um ponto $ A $ até um ponto $ B $ em um campo elétrico é dado por:
W
Como estamos trazendo a carga do infinito ($ V_A = 0 $) até o ponto $ P $, a fórmula simplifica para:
A
Então, precisamos encontrar o potencial elétrico $ V_P $ no ponto $ P $ devido às três cargas existentes.

Passo 3

O potencial elétrico $ V $ devido a uma carga pontual $ Q $ a uma distância $ r $ é dado por:
V
onde $ k $ é a constante eletrostática ($ k \approx 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $).
Como temos três cargas, o potencial total no ponto $ P $ será a soma dos potenciais gerados por cada uma delas.

Passo 4

Vamos supor que as três cargas no quadrado são todas $ Q $ e estão posicionadas nos três vértices restantes. O ponto $ P $ seria, portanto, o quarto vértice do quadrado.
A distância de cada carga ao ponto $ P $ varia:
  1. Duas cargas estão a uma distância $ a $ de $ P $ (lados do quadrado).
  2. Uma carga está a uma distância $ \sqrt{2}a $ de $ P $ (diagonal do quadrado).

Passo 5

Calculando o potencial no ponto $ P $:
P
Simplificando:
VP = k cdot Qa + k cdot Qa + k cdot Qraiz2a
VP = 2 cdot k cdot Qa + k cdot Qraiz2a
Podemos fatorar $ \frac{kQ}{a} $:
VP = 2kQa + kQraiz2a

Passo 6

Agora, substituímos $ V_P $ na fórmula do trabalho:
VP
Podemos deixar a expressão assim ou simplificar mais, dependendo do que for pedido.

Resposta

O trabalho realizado para trazer a carga $ +q $ do infinito até o ponto $ P $ é:
+q

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