[5, 3] Suponha que um cientista tenha razões para acreditar que duas quantidades
e
estejam relacionadas linearmente, ou seja,
, pelo menos aproximadamente, para algum valor de
e de
. O cientista realiza uma experiência e coleta os dados na forma de pontos
, e então coloca-os em um gráfico. Os pontos não estão todos alinhados, de modo que o cientista quer determinar as constantes
e
para que a reta
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre, para dados pontos
, os parâmetros
e
da reta
que melhor se ajusta aos dados pelo critério de mínimos quadrados, ou seja, que minimizam
. Aqui vamos usar cálculo (derivadas parciais) e álgebra (resolução de sistema linear).
Passo 2
Escrevemos a função de erro explicitamente:
Passo 3
Para encontrar o mínimo, impomos que as derivadas parciais em relação a
e
sejam zero (condição de ótimo em mínimos quadrados):
Passo 4
Calculamos as derivadas:
Passo 5
Essas equações nos dão o sistema normal:
Passo 6
Resolvendo esse sistema (por exemplo, pelo método de Cramer ou isolando
), chega-se às fórmulas clássicas de regressão linear: