[5, 3] Suponha que um cientista tenha razões para acreditar que duas quantidades x e y estejam relacionadas linearmente, ou seja, y=alpha x+beta, pelo menos aproximadamente, para algum valor de alpha e de beta. O cientista realiza uma experiência e coleta os dados na forma de pontos (x1, y1),(x2, y2), ldots,(xn, yn), e então coloca-os em um gráfico. Os pontos não estão todos alinhados, de modo que o cientista quer determinar as constantes alpha e beta para que a reta y=alpha x+beta
E(alpha, beta)=sumi=1^n[f(xi)-yi]^2

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre, para dados pontos (xi,yi), os parâmetros alpha e beta da reta y=alpha x+beta que melhor se ajusta aos dados pelo critério de mínimos quadrados, ou seja, que minimizam E(alpha,beta)=sumi=1^n [alpha xi+beta -yi]^2. Aqui vamos usar cálculo (derivadas parciais) e álgebra (resolução de sistema linear).

Passo 2

Escrevemos a função de erro explicitamente:
E(alpha,beta)=sumi=1^n (alpha xi+beta -yi)^2

Passo 3

Para encontrar o mínimo, impomos que as derivadas parciais em relação a alpha e beta sejam zero (condição de ótimo em mínimos quadrados):
partial Epartial alpha=0, partial Epartial beta=0

Passo 4

Calculamos as derivadas:
partial Epartial alpha=2sumi=1^n(alpha xi+beta -yi),xi=0,
partial Epartial beta=2sumi=1^n(alpha xi+beta -yi)=0

Passo 5

Essas equações nos dão o sistema normal:
alphasumi=1^n xi^2 +betasumi=1^n xi =sumi=1^n xi yi,
alphasumi=1^n xi +beta,n =sumi=1^n yi

Passo 6

Resolvendo esse sistema (por exemplo, pelo método de Cramer ou isolando beta), chega-se às fórmulas clássicas de regressão linear:
alpha = nsumi=1^n xi yi - sumi=1^n xisumi=1^n yinsumi=1^n xi^2 - l(sumi=1^n xir)^2,
beta = sumi=1^n yi - alphasumi=1^n xin

Resposta

alpha = nsumi=1^n xi yi - sumi=1^n xisumi=1^n yinsumi=1^n xi^2 - l(sumi=1^n xir)^2, beta = sumi=1^n yi - alphasumi=1^n xin

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