Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial, aplicando o método do fator integrante. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução atende à mesma.
(2) y^prime+2 y=x e^-2 x ; y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de 1ª ordem com condição inicial usando o método do fator integrante. A equação é y'+2y = x e^-2x com y(1)=0. Vamos usar a teoria de EDOs lineares, em que se define o fator integrante mu(x)=e^integral p(x),dx para escrever o lado esquerdo como derivada de produto.

Passo 2

Identificamos na equação y'+2y = x e^-2x que p(x)=2 e q(x)=x e^-2x. Logo, o fator integrante é
mu(x)=e^integral 2,dx=e^2x

Passo 3

Multiplicamos toda a EDO por mu(x)=e^2x:
e^2xy'+2e^2xy = x e^2xe^-2x = x
Pelo método, o lado esquerdo é a derivada de e^2xy:
ddxl(e^2xyr)=x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx(e^2xy),dx = integral x,dx
resultando em
e^2xy = x^22 + C, onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolamos y dividindo por e^2x:
y = e^-2xl(x^22 + Cr)

Passo 6

Usamos a condição inicial y(1)=0:
0 = e^-2l(1^22 + Cr)
Logo
12 + C = 0 Rightarrow C = -12

Passo 7

Substituindo C=-tfrac12 na expressão geral, a solução fica
y = e^-2xl(x^22 - 12r) = x^2-12e^-2x
Verificamos que ao calcular y'+2y obtemos exatamente x e^-2x, mostrando que a solução satisfaz a equação original.

Resposta

y(x)=x^2-12e^-2x

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