Encontre os pontos fixos da transformação: (Sugestão: vale Bhaskara, mesmo se os coeficientes forem complexos)
Passo 1
Temos a transformação de Möbius
e queremos achar os pontos fixos, ou seja, os valores de
tais que
. Vamos usar álgebra e propriedades de números complexos para resolver isso.
Passo 2
Impondo a condição de ponto fixo
e multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador em bloco:
Passo 3
Distribuindo e reorganizando os termos, obtemos
. Subtraindo
e adicionando
em ambos os lados, chega-se a em bloco:
Passo 4
Isso implica
, uma equação simples de segundo grau em
.
Passo 5
Para extrair a raiz quadrada de
, escrevemos
. A raiz quadrada então é em bloco:
Passo 6
Convertendo de volta para forma algébrica, obtemos em bloco:
Resposta
Os pontos fixos são
e
.