Descreva geometricamente a imagem da faixa
e
pela transformação
. Esboce as regiões
e
.
Passo 1
A questão pede para descrever geometricamente como a transformação w = f(z) = i/z mapeia a faixa R = {(x,y)∈ℂ; x>0 e 0<y<1} e esboçar R e f®. Vamos usar conceitos de inversão e rotação em plano complexo e seguir o trajeto das fronteiras de R.
Passo 2
Escrevemos z = x + i y (com x>0, 0<y<1) e calculamos w = i/z. Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de z, obtemos
Passo 3
Analisamos as imagens das fronteiras de R:
• Para y=0 (e x>0): w = i/x, ou seja u=0, v=1/x>0. Essa imagem é o eixo imaginário positivo.
• Para y=1 (e x>0):
• Para y=0 (e x>0): w = i/x, ou seja u=0, v=1/x>0. Essa imagem é o eixo imaginário positivo.
• Para y=1 (e x>0):
que satisfaz
É o semicírculo de diâmetro [0,1] no eixo real (parte superior).
• Para x→0+ (e 0<y<1): w→1/y real positivo com u=1/y>1, v→0. É o raio real (1,∞).
• Para x→∞: w→0. Essa fronteira colapsa em 0.
• Para x→0+ (e 0<y<1): w→1/y real positivo com u=1/y>1, v→0. É o raio real (1,∞).
• Para x→∞: w→0. Essa fronteira colapsa em 0.
Passo 4
Para ver de que lado da curva f® fica, tomamos um ponto interior a R, por exemplo z=1+0.5i, que dá w≈0.4+0.8i. Esse ponto satisfaz u>0, v>0 e
logo está na região do primeiro quadrante, fora (no exterior) do semicírculo de diâmetro [0,1].
Passo 5
Concluímos que f® é a região aberta do primeiro quadrante (u>0, v>0) limitada pelo semicírculo
(imagem de y=1), pelo eixo imaginário positivo (imagem de y=0) e pelo raio real (1,∞) (imagem de x=0). O esboço de R é uma faixa vertical limitada pelas retas y=0 e y=1 para x>0, e o esboço de f® é esse setor em torno do semicírculo descrito.
Passo 6
No esboço, a região f® está sombreada na parte externa ao semicírculo de diâmetro [0,1], mas dentro do ângulo formado pelo eixo real positivo (além de 1) e o eixo imaginário positivo.
Resposta
A imagem f® é a região aberta no primeiro quadrante definida por