5ª Dada a função f definida por: f(x)=lllsen(x+1)-x-1, & se x<-1 a , & se x=-1 x^2-2 x, & se x>-1 determine, se possível, o valor de a para que f seja contínua em x=-1. Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f definida por partes e pede o valor de a que torne f contínua em x=-1. Para isso, usamos a definição de continuidade: é preciso que
limxto -1^-f(x)=limxto -1^+f(x)=f(-1)=a.

Passo 2

Para limxto -1^-f(x) usamos o ramo sin(x+1)-x-1. Fazendo a mudança de variável t=x+1, quando xto -1 temos tto0 e
limxto -1^-sin(x+1)-x-1 = limtto 0^-sin t-,t = -1

Passo 3

Para limxto -1^+f(x) usamos o ramo x^2-2x. Assim,
limxto -1^+(x^2-2x) = (-1)^2-2(-1) = 1+2 = 3

Passo 4

Como limxto -1^-f(x)=-1 e limxto -1^+f(x)=3, os limites laterais não coincidem. Logo, não existe valor de a que torne f contínua em x=-1.

Resposta

Não existe valor de a que garanta continuidade em x=-1.

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