Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de frações parciais, verificar:
integral d xx(4-x^2)=18 ln (x^24-x^2)+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale
integral dxxl(4 - x^2r) =18ln!gl(x^24 - x^2gr)+C
usando o método de frações parciais. Vamos decompor o integrando e depois integrar cada termo.

Passo 2

Começamos pela decomposição em frações parciais. Note que 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x), então
1x(4 - x^2) =1x(2 - x)(2 + x) =Ax+B2 - x+D2 + x
Multiplicando ambos os lados por x(2 - x)(2 + x) obtemos
1 = A(2 - x)(2 + x) + B,x(2 + x) + D,x(2 - x)
Para achar A,B,D escolhemos valores de x:
- Se x=0, então 1 = Acdot2cdot2 = 4A, logo A = tfrac14.
- Se x=2, então 1 = Bcdot2cdot4 = 8B, logo B = tfrac18.
- Se x=-2, então 1 = Dcdot(-2)cdot4 = -8D, logo D = -tfrac18.

Passo 3

Substituindo na integral,
integral dxx(4 - x^2) =integral!l(tfrac141x+tfrac1812 - x-tfrac1812 + xr),dx
Integramos termo a termo:
integral tfrac14dxx =tfrac14ln|x|, integral tfrac18dx2 - x =-tfrac18ln|2 - x|, integral -tfrac18dx2 + x =-tfrac18ln|2 + x|
Somando,
integral dxx(4 - x^2) =tfrac14ln|x|-tfrac18ln|2 - x|-tfrac18ln|2 + x|+C
Reagrupando os logaritmos,
-tfrac18l[ln|2 - x|+ln|2 + x|r] =-tfrac18ln|4 - x^2|
e também tfrac14ln|x|=tfrac18ln|x^2|. Logo
integral dxx(4 - x^2) =tfrac18l[ln|x^2|-ln|4 - x^2|r]+C =tfrac18ln!l(x^24 - x^2r)+C

Resposta

A igualdade é válida.

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