Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de frações parciais, verificar:
integral x+1x^3+4 x=18 ln (x^24+x^2)-12 arctg(x2)+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
integral x+1x^3+4x,dx =18ln!l(x^24+x^2r) -12arctg!l(x2r)+C
é correto.
Conteúdo: integração por frações parciais.
Vamos decompor o integrando, integrar cada termo e comparar com a fórmula dada.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador e fazemos a decomposição:
x^3+4x = x,(x^2+4),
procuramos constantes A,B,C tais que
x+1x,(x^2+4) =Ax + Bx+Cx^2+4
Multiplicando por x(x^2+4) obtemos
x+1 = A(x^2+4) + (Bx+C)x = (A+B)x^2 + Cx + 4A
Comparando coeficientes:
A + B = 0, C = 1, 4A = 1, Rightarrow A=tfrac14,; B=-tfrac14,; C=1
Logo
x+1x^3+4x =1/4x+-tfrac14,x+1x^2+4 =14x-14,xx^2+4+1x^2+4

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integral14x,dx =14ln!lvert xrvert,
integral -14,xx^2+4,dx =-18ln(x^2+4),
integral 1x^2+4,dx =12arctg!l(x2r)
Somando,
integralx+1x^3+4x,dx =14ln!lvert xrvert -18ln(x^2+4) +12arctg!l(x2r)+C
Escrevendo tfrac14lnlvert xrvert=tfrac18ln(x^2), temos
=18ln!l(x^2x^2+4r) +12arctg!l(x2r)+C

Passo 4

Comparando com a fórmula proposta, que tem sinal negativo no arctg, vemos que caiu justamente com sinal trocado.
Para confirmar, derivando a proposta encontra-se
1 - xx(x^2 + 4) neq x + 1x(x^2 + 4)
logo a igualdade original - não - é válida.

Resposta

A igualdade dada é inválida.
O resultado correto é
integralx+1x^3+4x,dx =18ln!l(x^2x^2+4r) +12arctg!l(x2r)+C

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