[ 2,5] Usar a técnica dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores de máximo ou mínimo da função \mathcal{F}(x, y)=x^{2}+\mathrm{a} x y+y^{2} ao longo da hipérbole y x=\mathrm{b}^{2}, sendo a e b constantes reais.

Passo 1

O enunciado pede para usar multiplicadores de Lagrange e assim encontrar os extremos da função
\mathcal{F}(x,y)=x^{2}+a\,x\,y+y^{2}
sob a restrição da hipérbole
x\,y=b^{2},
onde a e b são constantes reais.

Passo 2

Definimos o lagrangiano
\mathcal{L}(x,y,\lambda) =\mathcal{F}(x,y)-\lambda\bigl(xy-b^{2}\bigr) = x^{2}+a\,x\,y+y^{2}-\lambda\,(xy-b^{2}).
As condições de extremum virão de
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=0.

Passo 3

Calculando as derivadas:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x} =2x + a\,y - \lambda\,y = 0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y} =2y + a\,x - \lambda\,x = 0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} =-(xy-b^{2}) = 0\;\Longrightarrow\;xy=b^{2}.
Das duas primeiras equações obtemos
\lambda=\frac{2x+a\,y}{y} \quad\text{e}\quad \lambda=\frac{2y+a\,x}{x},
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\frac{2x+a\,y}{y}=\frac{2y+a\,x}{x} \;\Longrightarrow\; 2x^{2}+a\,x\,y=2y^{2}+a\,x\,y \;\Longrightarrow\; x^{2}=y^{2}.

Passo 4

De x^{2}=y^{2} seguem duas possibilidades:
  1. y=x. Substituindo em xy=b^{2} x^{2}=b^{2}, logo x=\pm b,\quad y=\pm b\quad(\text{mesmo sinal}).
  2. y=-x. Substituindo em xy=b^{2} -x^{2}=b^{2}, sem solução real quando b\neq0.
Portanto, os candidatos reais são
(b,b)\quad\text{e}\quad(-b,-b).

Passo 5

Avaliamos \mathcal{F} nesses pontos:
\mathcal{F}(b,b) =b^{2}+a\,b^{2}+b^{2} =b^{2}(2+a),
\mathcal{F}(-b,-b) =(-b)^{2}+a\,(-b)(-b)+(-b)^{2} =b^{2}+a\,b^{2}+b^{2} =b^{2}(2+a).

Passo 6

Para ver a natureza do extremo, note que ao restringir a hipérbole podemos escrever y=b^{2}/x e obter
\mathcal{F}(x)=x^{2}+a\,b^{2}+\frac{b^{4}}{x^{2}}.
Como x^{2}+\tfrac{b^{4}}{x^{2}}\ge2\,b^{2} (AM–GM), segue
\mathcal{F}(x)\ge b^{2}(2+a),
com igualdade em \lvert x\rvert=b. Logo esse valor é mínimo e não há máximo (vai a +\infty conforme x\to0 ou \lvert x\vert\to\infty).

Resposta

Os únicos extremos são mínimos, atingidos em
(b,b) e (-b,-b), com valor mínimo
\mathcal{F}_{\min}=b^{2}(2+a).

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