[ 2,5] Usar a técnica dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores de máximo ou mínimo da função
ao longo da hipérbole
, sendo a e b constantes reais.
Passo 1
O enunciado pede para usar multiplicadores de Lagrange e assim encontrar os extremos da função
sob a restrição da hipérbole
onde
e
são constantes reais.
Passo 2
Definimos o lagrangiano
As condições de extremum virão de
Passo 3
Calculando as derivadas:
Das duas primeiras equações obtemos
logo
Passo 4
De
seguem duas possibilidades:
-
. Substituindo em dá , logo -
. Substituindo em dá , sem solução real quando .
Portanto, os candidatos reais são
Passo 5
Avaliamos
nesses pontos:
Passo 6
Para ver a natureza do extremo, note que ao restringir a hipérbole podemos escrever
e obter
Como
(AM–GM), segue
com igualdade em
. Logo esse valor é mínimo e não há máximo (vai a
conforme
ou
).
Resposta
Os únicos extremos são mínimos, atingidos em
e
, com valor mínimo