[5 pontos] Água escoa em movimento permanente através de um conduto de seção circular de diâmetro igual a 200 mm . Sabendo-se que a viscosidade cinemática da água para tal escoamento é \mathbf{v}= 1,0 \times 10^{-6} \mathbf{~ m}^{2} / \mathrm{s} e sabendo também que o escoamento é laminar com perfil de velocidade representado pela equação V(r)=0,02-2 r^{2}, na qual \mathbf{V ( r )} está em (m/s) e \mathbf{r} está em (m). Solicita-se: calcular a tensão tangencial média de cisalhamento em \mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Diâmetro do conduto: D=200\\ \mathrm{mm}=0,200\\ \mathrm{m}. Logo o raio é R=\dfrac{D}{2}=0,100\\ \mathrm{m}.
  • Viscosidade cinemática da água: \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Perfil de velocidade (em escoamento laminar): V(r)=0{,}02-2\,r^{2}, onde V está em \mathrm{m/s} e r em \mathrm{m}.
  • Pergunta: calcular a tensão tangencial média de cisalhamento em \mathrm{N/m^{2}}.
Observação importante (assunção): para calcular a tensão de cisalhamento usando a viscosidade cinemática precisamos da viscosidade dinâmica \mu. Vou assumir a densidade da água \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor padrão à temperatura ambiente). Não foi fornecida pelo enunciado, então explicito a suposição.

Passo 2

Entender a relação entre viscosidades e a definição de tensão de cisalhamento:
  • Viscosidade dinâmica \mu e viscosidade cinemática \nu estão relacionadas por
\mu = \rho\,\nu,
onde \mu tem unidades \mathrm{Pa\cdot s}, \rho é a densidade ( \mathrm{kg/m^{3}}) e \nu é a viscosidade cinemática ( \mathrm{m^{2}/s}).
  • Para um fluido newtoniano em escoamento unidirecional, o componente relevante da tensão de cisalhamento é dado por
\tau(r)=\mu\,\frac{dV}{dr},
onde \tau(r) é a tensão de cisalhamento (em \mathrm{N/m^{2}}) e \dfrac{dV}{dr} é o gradiente de velocidade radial (em \mathrm{s^{-1}}). O sinal pode indicar direção; para médias usamos o valor absoluto quando for conveniente interpretar magnitude.
Agora calculo \mu com a suposição de \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}:
\mu = \rho\,\nu = 1000\cdot\left(1{,}0\times10^{-6}\right)=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 3

Calcular o gradiente radial da velocidade \dfrac{dV}{dr}:
  • A função dada é V(r)=0{,}02-2\,r^{2}.
  • Derivando em relação a r:
\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}\left(0{,}02-2r^{2}\right) = -4r.
Portanto o gradiente de velocidade cresce (em magnitude) linearmente com r e é zero no centro ( r=0).

Passo 4

Expressar a distribuição de tensão de cisalhamento \tau(r):
  • Usando \tau(r)=\mu\,\dfrac{dV}{dr} obtemos
\tau(r)=\mu\,(-4r)=-4\mu r.
  • A magnitude da tensão de cisalhamento (valor absoluto) é
|\tau(r)|=4\mu r.
Isto mostra que a tensão de cisalhamento é nula no centro e atinge o máximo na parede ( r=R).

Passo 5

Definir a tensão tangencial média sobre a área da seção e montar a integral:
  • A tensão tangencial média sobre a área da seção transversal pode ser definida como a média aritmética das magnitudes da tensão sobre a área A:
\overline{\tau}=\frac{1}{A}\int_{A} |\tau(r)|\,dA.
  • Para coordenadas polares, dA=2\pi r\,dr e A=\pi R^{2}. Substituindo |\tau(r)|=4\mu r
\overline{\tau}=\frac{1}{\pi R^{2}}\int_{0}^{R} \bigl(4\mu r\bigr)\,2\pi r\,dr.
  • Simplificando a expressão dentro da integral:
\overline{\tau}=\frac{1}{\pi R^{2}}\int_{0}^{R} 8\pi \mu\, r^{2}\,dr =\frac{8\pi \mu}{\pi R^{2}}\int_{0}^{R} r^{2}\,dr =\frac{8\mu}{R^{2}}\cdot\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{R}.
  • Avaliando o integral:
\overline{\tau}=\frac{8\mu}{R^{2}}\cdot\frac{R^{3}}{3}=\frac{8}{3}\,\mu R.
Esta fórmula é prática: para perfil parabólico V(r)=V_{max}(1-(r/R)^{2}) a média da tensão (magnitude) sobre a seção resulta em \overline{\tau}=\tfrac{8}{3}\mu R.

Passo 6

Substituir valores numéricos e calcular:
  • Temos \mu=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s} e R=0{,}100\\ \mathrm{m}.
  • Portanto
\overline{\tau}=\frac{8}{3}\,\mu R=\frac{8}{3}\cdot\left(1{,}0\times10^{-3}\right)\cdot 0{,}100 =\frac{8}{3}\cdot 1{,}0\times10^{-4}.
  • Calculando numericamente:
\overline{\tau}=2{,}666\ldots\times10^{-4}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Arredondando para três algarismos significativos: 2{,}67\times10^{-4}\\ \mathrm{N/m^{2}}.

Resposta

2{,}67\times10^{-4}\\ \mathrm{N/m^{2}}

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