[5 pontos] Água escoa em movimento permanente através de um conduto de seção circular de diâmetro igual a 200 mm . Sabendo-se que a viscosidade cinemática da água para tal escoamento é
e sabendo também que o escoamento é laminar com perfil de velocidade representado pela equação
, na qual
está em (m/s) e
está em (m). Solicita-se: calcular a tensão tangencial média de cisalhamento em
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Diâmetro do conduto:
. Logo o raio é . - Viscosidade cinemática da água:
. - Perfil de velocidade (em escoamento laminar):
, onde está em e em . - Pergunta: calcular a tensão tangencial média de cisalhamento em
.
Observação importante (assunção): para calcular a tensão de cisalhamento usando a viscosidade cinemática precisamos da viscosidade dinâmica
. Vou assumir a densidade da água
(valor padrão à temperatura ambiente). Não foi fornecida pelo enunciado, então explicito a suposição.
Passo 2
Entender a relação entre viscosidades e a definição de tensão de cisalhamento:
- Viscosidade dinâmica
e viscosidade cinemática estão relacionadas por
onde
tem unidades
,
é a densidade (
) e
é a viscosidade cinemática (
).
- Para um fluido newtoniano em escoamento unidirecional, o componente relevante da tensão de cisalhamento é dado por
onde
é a tensão de cisalhamento (em
) e
é o gradiente de velocidade radial (em
). O sinal pode indicar direção; para médias usamos o valor absoluto quando for conveniente interpretar magnitude.
Agora calculo
com a suposição de
:
Passo 3
Calcular o gradiente radial da velocidade
:
- A função dada é
. - Derivando em relação a
:
Portanto o gradiente de velocidade cresce (em magnitude) linearmente com
e é zero no centro (
).
Passo 4
Expressar a distribuição de tensão de cisalhamento
:
- Usando
obtemos
- A magnitude da tensão de cisalhamento (valor absoluto) é
Isto mostra que a tensão de cisalhamento é nula no centro e atinge o máximo na parede (
).
Passo 5
Definir a tensão tangencial média sobre a área da seção e montar a integral:
- A tensão tangencial média sobre a área da seção transversal pode ser definida como a média aritmética das magnitudes da tensão sobre a área
:
- Para coordenadas polares,
e . Substituindo dá
- Simplificando a expressão dentro da integral:
- Avaliando o integral:
Esta fórmula é prática: para perfil parabólico
a média da tensão (magnitude) sobre a seção resulta em
.
Passo 6
Substituir valores numéricos e calcular:
- Temos
e . - Portanto
- Calculando numericamente:
Arredondando para três algarismos significativos:
.