A componente x da velocidade em um campo de escoamento permanente é incompressível no plano
é
, onde
, sendo
e
medidos em metros. Determine a mais simples componente
da velocidade para esse campo de escoamento. Sugestão: Considere a continuidade incompressível,
, sendo
.
Passo 1
O enunciado dá a componente
da velocidade no plano
como
com
. Pede-se “a mais simples componente
da velocidade” correspondente a um escoamento incompressível e permanente. Informações importantes fornecidas:
-
. - Constante
. - Escoamento incompressível (densidade constante) e permanente (sem dependência temporal).
O objetivo: encontrar(a componente da velocidade) mais simples que satisfaça a continuidade incompressível.
Passo 2
Lembra da equação de continuidade geral e como ela simplifica para escoamento incompressível e permanente. A equação geral de continuidade é
onde
é a densidade e
é o campo velocidade. Para escoamento permanente não há variação temporal de
ao seguir as partículas e, para fluido incompressível assumimos
constante. Assim podemos simplificar para
No plano
essa condição fica explicitamente
Isso significa: se conheço
, posso obter
e então integrar em
para achar
(aparecerá uma “constante” de integração que pode depender de
).
Passo 3
Calcular
passo a passo para
.
É conveniente escrever e usar regra do produto + cadeia:
É conveniente escrever
Agora simplificar a expressão:
Colocando em denominador comum
:
Passo 4
Usar a continuidade
para obter
:
Passo 5
Integrar em
para obter
. Precisamos encontrar uma função cuja derivada em
seja
. Observação direta útil:
calcule a derivada de em relação a
:
calcule a derivada de
Portanto a primitiva buscada é
. Assim, integrando,
onde
é uma função arbitrária de
(a “constante” de integração, que pode depender de
).
Passo 6
Escolher a solução mais simples: tomar
. Sem condições de contorno adicionais, a escolha mais simples e simétrica é anular essa função. Então a componente
mais simples é
Verificação rápida da continuidade: já mostramos que
e
, somando dá zero, logo
, como desejado.
Passo 7
Substituindo o valor numérico
(se quiser a forma com o valor dado):