A componente x da velocidade em um campo de escoamento permanente é incompressível no plano x y é u=A x /\left(x^{2}+y^{2}\right), onde A=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sendo x e y medidos em metros. Determine a mais simples componente y da velocidade para esse campo de escoamento. Sugestão: Considere a continuidade incompressível, \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho \nabla)=0, sendo \nabla=u \hat{\imath}+v \hat{\jmath}.

Passo 1

O enunciado dá a componente x da velocidade no plano x y como
u = \frac{A x}{x^{2}+y^{2}},
com A=10\\ \mathrm{m/s}. Pede-se “a mais simples componente y da velocidade” correspondente a um escoamento incompressível e permanente. Informações importantes fornecidas:
  • u(x,y)=\dfrac{A x}{x^{2}+y^{2}}.
  • Constante A=10\\ \mathrm{m/s}.
  • Escoamento incompressível (densidade constante) e permanente (sem dependência temporal).
    O objetivo: encontrar v(x,y) (a componente y da velocidade) mais simples que satisfaça a continuidade incompressível.

Passo 2

Lembra da equação de continuidade geral e como ela simplifica para escoamento incompressível e permanente. A equação geral de continuidade é
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho \mathbf{v})=0,
onde \rho é a densidade e \mathbf{v} = u\hat{\imath}+v\hat{\jmath} é o campo velocidade. Para escoamento permanente não há variação temporal de \rho ao seguir as partículas e, para fluido incompressível assumimos \rho= constante. Assim podemos simplificar para
\nabla\cdot\mathbf{v}=0.
No plano x y essa condição fica explicitamente
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.
Isso significa: se conheço u(x,y), posso obter \partial v/\partial y = -\partial u/\partial x e então integrar em y para achar v(x,y) (aparecerá uma “constante” de integração que pode depender de x).

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} passo a passo para u=\dfrac{A x}{x^{2}+y^{2}}.
É conveniente escrever u = A x (x^{2}+y^{2})^{-1} e usar regra do produto + cadeia:
\frac{\partial u}{\partial x} = A\left[1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-1} + x\cdot(-1)(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x\right].
Agora simplificar a expressão:
\frac{\partial u}{\partial x} = A\left[(x^{2}+y^{2})^{-1} - \frac{2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right].
Colocando em denominador comum (x^{2}+y^{2})^{2}:
\frac{\partial u}{\partial x} = A\frac{x^{2}+y^{2} - 2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = A\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Usar a continuidade \partial u/\partial x + \partial v/\partial y = 0 para obter \partial v/\partial y:
\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial u}{\partial x} = -A\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = A\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 5

Integrar em y para obter v(x,y). Precisamos encontrar uma função cuja derivada em y seja \dfrac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}. Observação direta útil:
calcule a derivada de \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}} em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right) = \frac{(x^{2}+y^{2}) - 2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Portanto a primitiva buscada é \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}. Assim, integrando,
v(x,y) = A\frac{y}{x^{2}+y^{2}} + C(x),
onde C(x) é uma função arbitrária de x (a “constante” de integração, que pode depender de x).

Passo 6

Escolher a solução mais simples: tomar C(x)=0. Sem condições de contorno adicionais, a escolha mais simples e simétrica é anular essa função. Então a componente y mais simples é
v(x,y) = \frac{A y}{x^{2}+y^{2}}.
Verificação rápida da continuidade: já mostramos que \partial u/\partial x = A\dfrac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} e \partial v/\partial y = A\dfrac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, somando dá zero, logo \nabla\cdot\mathbf{v}=0, como desejado.

Passo 7

Substituindo o valor numérico A=10\\ \mathrm{m/s} (se quiser a forma com o valor dado):
v(x,y)=\frac{10\,y}{x^{2}+y^{2}}\quad\text{(em m/s)}.

Resposta

\displaystyle v(x,y)=\frac{A\,y}{x^{2}+y^{2}}
\displaystyle v(x,y)=\frac{10\,y}{x^{2}+y^{2}}\\ \text{(m/s)}

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