Para um escoamento no plano
, a componente
da velocidade é dada por
. Encontre uma possível componente
para o escoamento permanente e incompressível. Sugestão: Aplique a equação da continuidade.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não perder nada):
- O escoamento é no plano
. - O escoamento é permanente (não depende do tempo) e incompressível.
- A componente
da velocidade é dada por
- O que é pedido: encontrar uma possível componente
da velocidade, isto é, uma função compatível com as condições dadas.
Passo 2
Vamos lembrar a equação da continuidade para um escoamento incompressível e permanente no plano
. A condição de incompressibilidade diz que a divergência do campo velocidade é nula. Para o caso 2D (duas componentes
e
) isso é escrito como
Explicando devagar:
é a taxa de variação da componente
da velocidade ao longo de
;
é a taxa de variação da componente
ao longo de
. Para o fluido não “criar” nem “destruir” volume localmente, essas duas taxas somam zero.
Então, para encontrar
vamos calcular
e usar
Passo 3
Primeiro simplifico
para facilitar a derivação:
Agora derivo em relação a
, termo a termo (regra do produto quando necessário, mas aqui cada termo é polinomial simples):
- Para
, é tratado como constante, então a derivada em é . - Para
, a derivada é .
Portanto
Passo 4
Usando a continuidade:
Agora integramos essa expressão em relação a
para obter
. Lembre-se: ao integrar em relação a
, aparece uma “constante” de integração que pode depender de
, pois a derivada parcial em relação a
de qualquer função apenas de
é zero. Faço a integração termo a termo:
Calculando as integrais em
:
Logo
onde
é a função arbitrária de
que aparece como “constante” de integração. Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Interpretação e comentários práticos (bem didáticos):
- A presença de
é esperada: a equação dada determina apenas até uma função que dependa exclusivamente de . Para fixar seria preciso uma condição adicional (por exemplo condição de contorno no escoamento, valor de numa linha , ou exigência sobre o fluxo total). - Se for pedido "uma possível componente
", pode-se escolher uma escolha simples como . Isso dá uma solução particular e válida:
- Alternativa (forma via função corrente): para escoamentos incompressíveis 2D costuma-se introduzir a função corrente
tal que
Se quiser, pode-se obter a mesma família de soluções encontrando
integrando
em
e completando com uma função de
; a relação entre essa função e
aparece naturalmente. Mas isso é apenas uma forma alternativa; o resultado para
é o mesmo.
Resposta
onde
é uma função arbitrária de
.
(Uma solução particular simples é
escolhendo
.)