Para um escoamento no plano x y, a componente y da velocidade é dada por v=y^{2} 2 x+2 y \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Encontre uma possível componente x para o escoamento permanente e incompressível. Sugestão: Aplique a equação da continuidade.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não perder nada):
  • O escoamento é no plano x y.
  • O escoamento é permanente (não depende do tempo) e incompressível.
  • A componente y da velocidade é dada por
v = y^{2}(2x + 2y)\\ \text{m/s}.
  • O que é pedido: encontrar uma possível componente x da velocidade, isto é, uma função u(x,y) compatível com as condições dadas.

Passo 2

Vamos lembrar a equação da continuidade para um escoamento incompressível e permanente no plano x y. A condição de incompressibilidade diz que a divergência do campo velocidade é nula. Para o caso 2D (duas componentes u(x,y) e v(x,y)) isso é escrito como
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.
Explicando devagar: \partial u/\partial x é a taxa de variação da componente x da velocidade ao longo de x; \partial v/\partial y é a taxa de variação da componente y ao longo de y. Para o fluido não “criar” nem “destruir” volume localmente, essas duas taxas somam zero.
Então, para encontrar u(x,y) vamos calcular \partial v/\partial y e usar
\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y}.

Passo 3

Primeiro simplifico v para facilitar a derivação:
v = y^{2}(2x + 2y) = 2x y^{2} + 2 y^{3}.
Agora derivo em relação a y, termo a termo (regra do produto quando necessário, mas aqui cada termo é polinomial simples):
  • Para 2x y^{2}, x é tratado como constante, então a derivada em y é 2x \cdot 2y = 4 x y.
  • Para 2 y^{3}, a derivada é 2 \cdot 3 y^{2} = 6 y^{2}.
Portanto
\frac{\partial v}{\partial y} = 4 x y + 6 y^{2}.

Passo 4

Usando a continuidade:
\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y} = -(4 x y + 6 y^{2}).
Agora integramos essa expressão em relação a x para obter u(x,y). Lembre-se: ao integrar em relação a x, aparece uma “constante” de integração que pode depender de y, pois a derivada parcial em relação a x de qualquer função apenas de y é zero. Faço a integração termo a termo:
u(x,y) = -\int (4 x y + 6 y^{2})\,dx = -\left(4 y \int x\,dx + 6 y^{2}\int 1\,dx\right).
Calculando as integrais em x:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int 1\,dx = x.
Logo
u(x,y) = -\left(4 y \cdot \frac{x^{2}}{2} + 6 y^{2}\cdot x\right) + g(y),
onde g(y) é a função arbitrária de y que aparece como “constante” de integração. Simplificando os coeficientes:
u(x,y) = -2 x^{2} y - 6 x y^{2} + g(y).

Passo 5

Interpretação e comentários práticos (bem didáticos):
  • A presença de g(y) é esperada: a equação \partial u/\partial x = dada determina u apenas até uma função que dependa exclusivamente de y. Para fixar g(y) seria preciso uma condição adicional (por exemplo condição de contorno no escoamento, valor de u numa linha x=x_0, ou exigência sobre o fluxo total).
  • Se for pedido "uma possível componente x", pode-se escolher uma escolha simples como g(y)=0. Isso dá uma solução particular e válida:
u(x,y) = -2 x^{2} y - 6 x y^{2}.
  • Alternativa (forma via função corrente): para escoamentos incompressíveis 2D costuma-se introduzir a função corrente \psi(x,y) tal que
u = \frac{\partial \psi}{\partial y},\qquad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}.
Se quiser, pode-se obter a mesma família de soluções encontrando \psi integrando v = -\psi_x em x e completando com uma função de y; a relação entre essa função e g(y) aparece naturalmente. Mas isso é apenas uma forma alternativa; o resultado para u é o mesmo.

Resposta

u(x,y) = -2 x^{2} y - 6 x y^{2} + g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y.
(Uma solução particular simples é u(x,y) = -2 x^{2} y - 6 x y^{2} escolhendo g(y)=0.)

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