[5.0 pontos ] Considere a função F definida por F(x)=\int_{\cos x}^{0} \sin ^{3}(3 \theta) d \theta.
(a) Calcule F(0).
(b) Determine d F(x) / d x, x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define
F(x)=\int_{\cos x}^{0}\sin^{3}(3\theta)\,d\theta
e pede (a) o valor de F(0) e (b) F'(x).
O conteúdo usado será o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais dependentes de parâmetro e a Regra da Cadeia, além de uma identidade para integrar \sin^{3}t.

Passo 2

Para calcular F(0) note que \cos0=1, logo
F(0)=\int_{1}^{0}\sin^{3}(3\theta)\,d\theta =-\int_{0}^{1}\sin^{3}(3\theta)\,d\theta.
Usamos a identidade
\sin^{3}u = \frac{3\sin u - \sin(3u)}{4},
com u=3\theta. Então
\int \sin^{3}(3\theta)\,d\theta = \int \frac{3\sin(3\theta)-\sin(9\theta)}{4}\,d\theta = -\frac{\cos(3\theta)}{4} + \frac{\cos(9\theta)}{36} + C.
Portanto
F(0) =-\Bigl[\,-\tfrac{\cos(3\theta)}{4}+\tfrac{\cos(9\theta)}{36}\Bigr]_{0}^{1} =-\Bigl[\Bigl(-\tfrac{\cos3}{4}+\tfrac{\cos9}{36}\Bigr)-\Bigl(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{36}\Bigr)\Bigr]
=\frac{\cos3}{4}-\frac{\cos9}{36}-\frac{2}{9}.

Passo 3

Para F'(x) aplicamos a fórmula
\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(\theta)\,d\theta =f\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x)-f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Aqui u(x)=\cos x, v(x)=0, logo v'(x)=0 e u'(x)=-\sin x. Assim
F'(x) =0 - \sin^{3}\bigl(3\cos x\bigr)\,(-\sin x) =\sin x\;\sin^{3}\bigl(3\cos x\bigr).

Resposta

(a) F(0)=\displaystyle\frac{\cos3}{4}-\frac{\cos9}{36}-\frac{2}{9}.
(b) \displaystyle F'(x)=\sin x\;\sin^{3}\bigl(3\cos x\bigr).

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