Considere a função f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}\) definida por \[f(x)= \begin{cases}x^{2} \mathrm{e}^{-x}, & \text { se } x \geq 0 \\\ \left(x^{2}+x\right)^{3}, & \text { se } x \leq 0\end{cases}
[2.5\] pontos \(] Calcule a integral definida, \int_{-1}^{0} x f(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-1}^{0} x\,f(x)\,dx
onde
f(x)= \begin{cases} x^{2}e^{-x},&x\ge0,\\\ (x^{2}+x)^{3},&x\le0. \end{cases}
O conteúdo aqui é integração de função peça-wise: como o intervalo de integração [-1,0] está inteiramente na parte x\le0, vamos usar f(x)=(x^{2}+x)^{3}, simplificar o integrando e resolver a integral por expansão binomial.

Passo 2

Para x\in[-1,0] temos
f(x)=(x^{2}+x)^{3}=\bigl(x(x+1)\bigr)^{3}=x^{3}(x+1)^{3}.
Logo
x\,f(x)=x\cdot x^{3}(x+1)^{3}=x^{4}(x+1)^{3}.
A integral vira
\int_{-1}^{0}x\,f(x)\,dx =\int_{-1}^{0}x^{4}(x+1)^{3}\,dx.

Passo 3

Façamos a mudança de variável
t = x+1, \quad dt=dx,
quando x=-1 temos t=0, e quando x=0 temos t=1. Além disso x=t-1, então
x^{4}(x+1)^{3}=(t-1)^{4}t^{3}=(1-t)^{4}t^{3}.
Assim a integral passa a ser
\int_{-1}^{0}x^{4}(x+1)^{3}\,dx =\int_{0}^{1}(1-t)^{4}t^{3}\,dt.

Passo 4

Expandimos (1-t)^{4} pelo binômio de Newton:
(1-t)^{4} =\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}1^{4-k}(-t)^{k} =\sum_{k=0}^{4}(-1)^{k}\binom{4}{k}t^{k}.
Logo
(1-t)^{4}t^{3} =\sum_{k=0}^{4}(-1)^{k}\binom{4}{k}t^{k+3}.
Integrando termo a termo de 0 a 1,
\int_{0}^{1}(1-t)^{4}t^{3}\,dt =\sum_{k=0}^{4}(-1)^{k}\binom{4}{k} \int_{0}^{1}t^{k+3}\,dt =\sum_{k=0}^{4}(-1)^{k}\binom{4}{k}\frac{1}{k+4}.
Computando cada termo:
\frac{1}{4} -\frac{4}{5} +\frac{6}{6} -\frac{4}{7} +\frac{1}{8} =\frac{70-224+280-160+35}{280} =\frac{1}{280}.

Resposta

\int_{-1}^{0}x\,f(x)\,dx=\frac{1}{280}.

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