Considere a função f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}\) definida por \[f(x)= \begin{cases}x^{2} \mathrm{e}^{-x}, & \text { se } x \geq 0 \\\ \left(x^{2}+x\right)^{3}, & \text { se } x \leq 0\end{cases}
[2.5 pontos] Calcule a integral definida, (\int_{-2}{2}\left|1-x{3}\right| d x].

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-2}^{2}\left|1 - x^{3}\right|\,dx.
O conteúdo é o cálculo de integrais com valor absoluto. Para resolver, precisamos identificar onde 1 - x^{3} muda de sinal, dividir o intervalo em pedaços onde o integrando é positivo ou negativo, calcular as integrais nessas partes e somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, achamos o zero de 1 - x^{3}:
1 - x^{3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.
Para x < 1, temos 1 - x^{3} > 0 e, para x > 1, 1 - x^{3} < 0. Assim
\left|1 - x^{3}\right| = \begin{cases} 1 - x^{3}, & x\in[-2,1],\\\ x^{3} - 1, & x\in[1,2]. \end{cases}

Passo 3

Calculamos a integral em [-2,1]:
\int_{-2}^{1}(1 - x^{3})\,dx = \Bigl[x - \tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{-2}^{1} = \bigl(1 - \tfrac{1}{4}\bigr) - \bigl(-2 - \tfrac{(-2)^{4}}{4}\bigr).
Como (-2)^{4}=16, segue
1 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}, \quad -2 - \tfrac{16}{4} = -2 - 4 = -6,
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\int_{-2}^{1}(1 - x^{3})\,dx = \tfrac{3}{4} - (-6) = \tfrac{3}{4} + 6 = \tfrac{3 + 24}{4} = \tfrac{27}{4}.

Passo 4

Agora, a integral em [1,2]:
\int_{1}^{2}(x^{3} - 1)\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{4}}{4} - x\Bigr]_{1}^{2} = \bigl(\tfrac{16}{4} - 2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4} - 1\bigr).
Temos
\tfrac{16}{4} - 2 = 4 - 2 = 2, \quad \tfrac{1}{4} - 1 = -\tfrac{3}{4},
portanto
\int_{1}^{2}(x^{3} - 1)\,dx = 2 - \bigl(-\tfrac{3}{4}\bigr) = 2 + \tfrac{3}{4} = \tfrac{11}{4}.

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
\int_{-2}^{2}\left|1 - x^{3}\right|\,dx = \tfrac{27}{4} + \tfrac{11}{4} = \tfrac{38}{4} = \tfrac{19}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{19}{2}

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