Exemplo 3: Encontre a solução do sistema
x^{\prime}=4 x-3 y, \quad y^{\prime}=6 x-7 y
que satisfaz as condições iniciais x(0)=2 e y(0)=-1.
Solução: Se resolvermos a segunda equação para x, obtemos
x=\frac{1}{6} y^{\prime}+\frac{7}{6} y
Assim,
x^{\prime}=\frac{1}{6} y^{\prime \prime}+\frac{7}{6} y^{\prime} .
Substituímos então estas expressões para x ex’ na primeira equação do sistema; isto fornece
\frac{1}{6} y^{\prime \prime}+\frac{7}{6} y^{\prime}=4\left(\frac{1}{6} y^{\prime}+\frac{7}{6} y\right)-3 y
a qual pode ser simplificada para
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-10 y=0
Esta equação de segunda ordem tem equação característica
r^{2}+3 r-10=0 \Rightarrow r_{1}=2 \text { e r }{ }_{2}=-5
Assim, sua solução geral é y(t)=c_{1} e^{2 t}+c_{2} e^{-5 t}.
Substituindo y(t)=c_{1} e^{2 t}+c_{2} e^{-5 t} e y^{\prime}(t)=2 c_{1} e^{2 t}-5 c_{1} e^{-5 t} em x=\frac{1}{6} y^{\prime}+\frac{7}{6} y, obtemos:
x(t)=\frac{1}{6}\left(2 c_{1} e^{2 t}-5 c_{1} e^{-5 t}\right)+\frac{7}{6}\left(c_{1} e^{2 t}+c_{2} e^{-5 t}\right)
isto é, x(t)=\frac{3}{2} c_{1} e^{2 t}+\frac{c_{2}}{3} e^{-5 t}.
Deste modo, x(t)=\frac{3}{2} c_{1} e^{2 t}+\frac{c_{2}}{3} e^{-5 t} e y(t)=c_{1} e^{2 t}+c_{2} e^{-5 t} descrevem a solução geral do sistema dado. As condições iniciais dadas implicam que
x(0)=\frac{3 c_{1}}{2}+\frac{c_{2}}{3}=2 \text { e } y(0)=c_{1}+c_{2}=-1 \Rightarrow c_{1}=2 \text { e c } c_{2}=-3 .
Por isso, a solução desejada é
x(t)=3 e^{2 t}-e^{-5 t} \text { e } y(t)=2 e^{2 t}-3 e^{-5 t}

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema linear
x' = 4x - 3y, \quad y' = 6x - 7y
com condições iniciais x(0)=2 e y(0)=-1.
O conteúdo é resolução de sistemas de EDOs lineares por redução a uma EDO de segunda ordem.

Passo 2

Da segunda equação isolamos x:
x = \frac{1}{6}y' + \frac{7}{6}y,
e então derivamos em t:
x' = \frac{1}{6}y'' + \frac{7}{6}y'.
Substituímos essas expressões em x' = 4x - 3y.

Passo 3

Fazendo a substituição:
\frac{1}{6}y'' + \frac{7}{6}y' =4\Bigl(\frac{1}{6}y' + \frac{7}{6}y\Bigr)-3y =\frac{4}{6}y' + \frac{28}{6}y - \frac{18}{6}y =\frac{4}{6}y' + \frac{10}{6}y.
Multiplicando tudo por 6 obtém-se
y'' +7y' =4y' +10y \quad\Longrightarrow\quad y'' +3y' -10y=0.

Passo 4

A equação característica é
r^2 +3r -10=0 \quad\Rightarrow\quad r=2,\;-5,
logo a solução geral para y é
y(t)=c_1 e^{2t} + c_2 e^{-5t}.
Como x = \tfrac{1}{6}y' + \tfrac{7}{6}y, calculamos
y'(t)=2c_1 e^{2t} -5c_2 e^{-5t},
x(t) =\frac{1}{6}(2c_1 e^{2t} -5c_2 e^{-5t}) +\frac{7}{6}(c_1 e^{2t} + c_2 e^{-5t}) =\frac{3}{2}c_1 e^{2t} + \frac{c_2}{3}e^{-5t}.

Passo 5

Impondo x(0)=2 e y(0)=-1:
y(0)=c_1 + c_2 = -1, \qquad x(0)=\frac{3}{2}c_1 + \frac{c_2}{3} =2.
Da primeira c_2=-1-c_1. Substituindo em x(0):
\frac{3}{2}c_1 + \frac{-1-c_1}{3}=2 \quad\Longrightarrow\quad 7c_1-2=12 \quad\Longrightarrow\quad c_1=2,
logo c_2=-3.

Resposta

x(t)=3e^{2t} - e^{-5t}, \quad y(t)=2e^{2t} -3e^{-5t}.

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