Exemplo 3: Encontre a solução do sistema
que satisfaz as condições iniciais
e
.
Solução: Se resolvermos a segunda equação para
, obtemos
Assim,
Substituímos então estas expressões para x ex’ na primeira equação do sistema; isto fornece
a qual pode ser simplificada para
Esta equação de segunda ordem tem equação característica
Assim, sua solução geral é
.
Substituindo
e
em
, obtemos:
isto é,
.
Deste modo,
e
descrevem a solução geral do sistema dado. As condições iniciais dadas implicam que
Por isso, a solução desejada é
Solução: Se resolvermos a segunda equação para
Substituindo
Deste modo,
Passo 1
O enunciado pede a solução do sistema linear
com condições iniciais
e
.
O conteúdo é resolução de sistemas de EDOs lineares por redução a uma EDO de segunda ordem.
O conteúdo é resolução de sistemas de EDOs lineares por redução a uma EDO de segunda ordem.
Passo 2
Da segunda equação isolamos
:
e então derivamos em
:
Substituímos essas expressões em
.
Passo 3
Fazendo a substituição:
Multiplicando tudo por 6 obtém-se
Passo 4
A equação característica é
logo a solução geral para
é
Como
, calculamos
Passo 5
Impondo
e
:
Da primeira
. Substituindo em
:
logo
.