Mostre que o campo escalar f(x, y, z)=1raizx^2+y^2+z^2 é harmônico em cada sólido que não contém a origem, isto é, f(x, y, z) satisfaz a equação partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0 para todo (x, y, z) neq(0,0,0). A menos de uma constante, f é uma função potêncial para o campo gravitacional.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a função partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 = 0 é harmônica em qualquer região que não contenha a origem. Isso significa que ela deve satisfazer a equação de Laplace:
Para isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de em relação a , e , e depois somá-las para ver se realmente dão zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de f(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^-1/2 em relação a partial fpartial x = -12(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 cdot 2x = -x(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 .
A função pode ser escrita como:
Usando a regra da cadeia para derivadas, a primeira derivada em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x ( -x(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 ) em relação a partial^2 fpartial x^2 = - (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 + 3x^2(x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 . Isso significa derivar novamente em relação a :
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

De forma semelhante, vamos calcular as segundas derivadas em relação a partial^2 fpartial y^2 = - (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 + 3y^2(x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 e partial^2 fpartial z^2 = - (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 + 3z^2(x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 :

Passo 5

Agora, vamos somar as três segundas derivadas parciais:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 = [ -3(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 ] + 3(x^2 + y^2 + z^2)(x^2 + y^2 + z^2)^-5/2
Simplificando a expressão:
-3(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 + 3(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 = 0

Resposta

Portanto, mostramos que:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 = 0
Isso significa que a função é harmônica em todo ponto onde , e, além de uma constante, ela é uma função potencial para o campo gravitacional.

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