[5] (2,0 ptos) Determine um vetor u tal que u cdot v=u cdot w=1 e|u|=raiz22, onde v=(1,1,0) e w=(2,1,-1).
2 / 3

Passo 1

O enunciado quer um vetor u que satisfaça
ucdotv=1, ucdotw=1 e |u|=raiz22,
onde v=(1,1,0) e w=(2,1,-1).
O conteúdo é usar produto escalar para obter um sistema de equações lineares e depois impor a condição de norma.

Passo 2

Escrevemos u=(x,y,z).
As duas primeiras condições dão
x+y=1,
2x+y -z=1
Da primeira segue y=1-x. Substituindo na segunda:
2x + (1-x) - z = 1 Longrightarrow x + 1 - z = 1 Longrightarrow z = x

Passo 3

Agora u=(x,,1-x,,x). A condição de norma é
|u|^2 = x^2 + (1-x)^2 + x^2 = 22
Desenvolvendo:
2x^2 + (1 - 2x + x^2) = 22 Longrightarrow 3x^2 - 2x - 21 = 0

Passo 4

Resolvendo 3x^2 - 2x - 21 = 0 pelo discriminante De<a = (-2)^2 -4cdot3cdot(-21)=256, temos
x = 2 pm 166 ;Longrightarrow; x = 3 ou x = -tfrac73
Logo as soluções são
u = (3,,-2,,3) ou u = l(-tfrac73,,tfrac103,,-tfrac73r)

Resposta

As possíveis soluções são
u = (3,-2,3) ou u = l(-tfrac73,,tfrac103,,-tfrac73r)

Exercícios relacionados