Verifique se são ideais ou não:
Z no anel (Q, star, de<a) onde a star b=a+b-1 e a de<a b=a+b-a b

Passo 1

O enunciado define um “anel” cujo conjunto é Q e cujas operações são
a star b = a + b - 1, a ,de<a, b = a + b - a b
Queremos ver se o subconjunto ZsubsetQ é ideal nesse anel, ou seja:
  1. Z é subgrupo aditivo de (Q,star).
  2. Para todo zinZ e todo qinQ, temos q,de<a, zinZ e z,de<a, qinZ.

Passo 2

Mostramos que (Q,star) é grupo abeliano e que Z é subgrupo.
  1. Identidade aditiva: queremos e tal que astar e=a. a + e - 1 = a Longrightarrow e = 1
  2. Inverso de a: astar b = 1 implica a + b - 1 = 1, logo b = 2 - a.
  3. Agora, para z1,z2inZ:
    • Fechamento: z1star z2 = z1 + z2 - 1 é inteiro.
    • Identidade: 1inZ.
    • Inverso: 2 - z é inteiro se z é inteiro.
      Portanto Z é subgrupo de (Q,star).

Passo 3

Verificamos a condição de absorção pela multiplicação de<a.
Para zinZ e qinQ temos
q ,de<a, z = q + z - qz
Se Z fosse ideal, isso teria de ser inteiro para todo qinQ.
Mas tome q = tfrac12 e z = 2. Então
tfrac12 ,de<a, 2 = tfrac12 + 2 - tfrac12cdot2 = tfrac12 + 2 - 1 = tfrac32,
que não é inteiro.

Resposta

Z não é ideal no anel l(Q,star,de<ar).

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