Verifique se são ideais ou não:
no anel
onde
e
Passo 1
O enunciado define um “anel” cujo conjunto é
e cujas operações são
Queremos ver se o subconjunto
é ideal nesse anel, ou seja:
-
é subgrupo aditivo de . - Para todo
e todo , temos e .
Passo 2
Mostramos que
é grupo abeliano e que
é subgrupo.
- Identidade aditiva: queremos
tal que . - Inverso de
: implica , logo . - Agora, para
: - Fechamento:
é inteiro. - Identidade:
. - Inverso:
é inteiro se é inteiro.
Portantoé subgrupo de .
- Fechamento:
Passo 3
Verificamos a condição de absorção pela multiplicação
.
Para e
temos
Para
Se
fosse ideal, isso teria de ser inteiro para todo
.
Mas tome e
. Então
Mas tome
que não é inteiro.