[5 pts] Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a derivada da função
. Aqui, vamos usar conceitos de derivação, como a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e funções que são a raiz de outra função.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de
:
Isso vai ajudar a aplicar a regra da cadeia mais facilmente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta
, a derivada é
. No nosso caso,
e
.
Primeiro, vamos derivar
:
Passo 4
Agora, precisamos derivar
. Para isso, usamos a regra do quociente, que é
, onde
e
.
Primeiro, derivamos
e
:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 6
Agora, voltando à derivada de
usando a regra da cadeia:
Substituindo
e
:
Passo 7
Vamos simplificar um pouco. A expressão
no denominador pode ser reescrita como:
Então, a derivada fica:
Simplificando ainda mais:
Resposta
A derivada da função é: