[5 pts] Calcule as derivadas das seguintes funções:
[0 , 8 p t] f(x)=raizarctg(x)x-1

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar conceitos de derivação, como a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e funções que são a raiz de outra função.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de f(x) = ( arctan(x)x - 1 )^12 :
Isso vai ajudar a aplicar a regra da cadeia mais facilmente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta h'(u) = 12 u^-12 = 12raizu , a derivada é . No nosso caso, e .
Primeiro, vamos derivar :

Passo 4

Agora, precisamos derivar u' = 11 + x^2 e v' = 1 . Para isso, usamos a regra do quociente, que é , onde e .
Primeiro, derivamos e :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
g'(x) = ( 11 + x^2 )(x - 1) - arctan(x)(1)(x - 1)^2
Simplificando o numerador:
g'(x) = x - 11 + x^2 - arctan(x)(x - 1)^2

Passo 6

Agora, voltando à derivada de f'(x) = h'(g(x)) cdot g'(x) = 12raizg(x) cdot g'(x) usando a regra da cadeia:
f'(x) = 12raizarctan(x)x - 1 cdot x - 11 + x^2 - arctan(x)(x - 1)^2
Substituindo e :

Passo 7

Vamos simplificar um pouco. A expressão raizarctan(x)x - 1 = raizarctan(x)raizx - 1 no denominador pode ser reescrita como:
f'(x) = raizx - 12raizarctan(x) cdot x - 11 + x^2 - arctan(x)(x - 1)^2
Então, a derivada fica:
f'(x) = x - 11 + x^2 - arctan(x)2raizarctan(x) cdot (x - 1)^32
Simplificando ainda mais:

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = x - 11 + x^2 - arctan(x)2raizarctan(x) cdot (x - 1)^32

Exercícios relacionados