(Cálculo de limite pela definição - 2,5 pontos) Prove que o limite é o número indicado.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que o limite de
quando
se aproxima de 3 é igual a 4. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites usando a definição formal de limite, ou seja, a definição do
-
. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa definição passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função
quando
se aproxima de um valor
. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
. Aqui,
é o valor que a função se aproxima, que no nosso caso é 4.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição ao nosso problema. Temos
e queremos provar que
. Então, precisamos mostrar que para qualquer
, podemos encontrar um
tal que, se
, então
.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do módulo:
Queremos que isso seja menor que
. Vamos fatorar a expressão:
Então:
Para controlar
, vamos restringir
para que
. Isso implica que
está no intervalo
, então
está no intervalo
e, portanto,
.
Passo 5
Agora, queremos que:
Como
, basta ter:
Então, podemos escolher:
Isso garante que tanto
quanto
sejam satisfeitos, garantindo
.
Resposta
Portanto, provamos que
.