(Cálculo de limite pela definição - 2,5 pontos) Prove que o limite é o número indicado.
a) lim x 3(x^2-x-2)=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que o limite de quando se aproxima de 3 é igual a 4. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites usando a definição formal de limite, ou seja, a definição do - . Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função quando se aproxima de um valor . Dizemos que se, para todo , existe um tal que, sempre que , então . Aqui, é o valor que a função se aproxima, que no nosso caso é 4.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição ao nosso problema. Temos e queremos provar que . Então, precisamos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um tal que, se , então .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do módulo:
|x^2 - x - 2 - 4| = |x^2 - x - 6|
Queremos que isso seja menor que x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) . Vamos fatorar a expressão:
|x^2 - x - 6| = |x - 3||x + 2|
Então:
Para controlar , vamos restringir para que . Isso implica que está no intervalo , então está no intervalo e, portanto, .

Passo 5

Agora, queremos que:
|x - 3||x + 2| < varepsilon
Como |x - 3| cdot 6 < varepsilon implies |x - 3| < varepsilon6 , basta ter:
de
Então, podemos escolher:
Isso garante que tanto quanto sejam satisfeitos, garantindo .

Resposta

Portanto, provamos que .

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