[5 pts] Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função . A gente precisa calcular a derivada dessa função. Para isso, vamos usar o Regra da Cadeia e outras regras de derivação que são super importantes no cálculo. Vamos passo a passo para facilitar, sem pular nenhuma etapa!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a estrutura da função. Temos uma função composta, porque dentro de uma potência de 8, temos uma soma de duas partes: e
. A Regra da Cadeia vai nos ajudar a derivar funções compostas como essa.
Passo 3
A Regra da Cadeia diz que se temos uma função composta
, a derivada é
. No nosso caso,
e . Então, vamos derivar
em relação a
e depois multiplicar pela derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos começar derivando
. Usando a regra do poder, a derivada de
é
. Então,
Passo 5
Agora, precisamos derivar . Essa expressão é uma soma de duas funções, então a derivada de
será a soma das derivadas de cada parte.
Passo 6
Primeiro, vamos derivar . Aqui, temos uma fração, então vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se
, então
Passo 7
Identificando as partes:
Agora, vamos derivar
e
:
Passo 8
Aplicando a Regra do Quociente:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos derivar a segunda parte
. Lembrando que
, a derivada será:
Passo 10
Agora, somando as derivadas das duas partes para obter
:
Passo 11
Finalmente, aplicando a Regra da Cadeia para encontrar
:
Substituindo :
Resposta
A derivada da função é