[5 pts] Calcule as derivadas das seguintes funções:
[1 p t] f(x)=(3 x^5sen(7 x)+raiz4 x-1)^8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função . A gente precisa calcular a derivada dessa função. Para isso, vamos usar o Regra da Cadeia e outras regras de derivação que são super importantes no cálculo. Vamos passo a passo para facilitar, sem pular nenhuma etapa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da função. Temos uma função composta, porque dentro de uma potência de 8, temos uma soma de duas partes: e . A Regra da Cadeia vai nos ajudar a derivar funções compostas como essa.

Passo 3

A Regra da Cadeia diz que se temos uma função composta , a derivada é . No nosso caso, e . Então, vamos derivar em relação a e depois multiplicar pela derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos começar derivando f'(u) = 8u^7 . Usando a regra do poder, a derivada de é . Então,

Passo 5

Agora, precisamos derivar . Essa expressão é uma soma de duas funções, então a derivada de será a soma das derivadas de cada parte.

Passo 6

Primeiro, vamos derivar . Aqui, temos uma fração, então vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se h'(x) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2 , então

Passo 7

Identificando as partes:
Agora, vamos derivar f(x) = 3x^5 e g(x) = sen(7x) e f'(x) = 15x^4 (usando a regra do poder) :
g'(x) = 7cos(7x) (derivada de sen(7x) é 7cos(7x))

Passo 8

Aplicando a Regra do Quociente:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos derivar a segunda parte ddx raiz4x - 1 = 12(4x - 1)^-1/2 cdot 4 = 2raiz4x - 1 . Lembrando que , a derivada será:

Passo 10

Agora, somando as derivadas das duas partes para obter u'(x) = 15x^4 sen(7x) - 21x^5 cos(7x)[sen(7x)]^2 + 2raiz4x - 1 :

Passo 11

Finalmente, aplicando a Regra da Cadeia para encontrar f'(x) = f'(u) cdot u'(x) = 8u^7 cdot ( 15x^4 sen(7x) - 21x^5 cos(7x)[sen(7x)]^2 + 2raiz4x - 1 ) :
Substituindo :

Resposta

A derivada da função é

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