Para que valores de alpha in R tem-se que:
x^2+alpha x y+y^2 >= 0, forall x, y in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar todos os valores reais de alpha que fazem com que a expressão x^2 + alpha x y + y^2 seja sempre maior ou igual a zero, para qualquer x e y reais. Estamos lidando com expressões quadráticas e, no fundo, precisamos entender quando uma combinação quadrática não fica negativa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre formas quadráticas e matrizes positivas semidefinidas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite a análise. A expressão dada é:
x^2 + alpha x y + y^2
Isso pode ser visto como uma forma quadrática em duas variáveis x e y.

Passo 3

Agora, para garantir que essa expressão seja sempre não negativa, precisamos que ela seja positiva semestra positiva definida. Em termos de matrizes, isso significa que a matriz associada a essa forma quadrática deve ser positiva semidefinida.

Passo 4

A matriz associada à forma quadrática x^2 + alpha x y + y^2 é:
1 & alpha2 alpha2 & 1

Passo 5

Para que essa matriz seja positiva semidefinida, três condições devem ser atendidas:
  1. O elemento a11 deve ser não negativo.
  2. O determinante da matriz deve ser não negativo.
  3. Todos os menores principais devem ser não negativos (no caso de matrizes 2x2, isso já está coberto pelas duas primeiras condições).

Passo 6

Vamos verificar a primeira condição:
a11 = 1 >= 0
Essa condição já está satisfeita.

Passo 7

Agora, vamos calcular o determinante da matriz:
det = (1)(1) - (alpha2)^2 = 1 - alpha^24
Para que a matriz seja positiva semidefinida, precisamos que:
1 - alpha^24 >= 0

Passo 8

Vamos resolver essa inequação:
1 - alpha^24 >= 0 Rightarrow alpha^24 <= 1 Rightarrow alpha^2 <= 4 Rightarrow |alpha| <= 2

Resposta

Os valores de alpha que satisfazem a condição são todos os números reais dentro do intervalo [-2, 2].
alpha in [-2, , 2]

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