Para que valores de
tem-se que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar todos os valores reais de
que fazem com que a expressão
seja sempre maior ou igual a zero, para qualquer
e
reais. Estamos lidando com expressões quadráticas e, no fundo, precisamos entender quando uma combinação quadrática não fica negativa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre formas quadráticas e matrizes positivas semidefinidas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite a análise. A expressão dada é:
Isso pode ser visto como uma forma quadrática em duas variáveis
e
.
Passo 3
Agora, para garantir que essa expressão seja sempre não negativa, precisamos que ela seja positiva semestra positiva definida. Em termos de matrizes, isso significa que a matriz associada a essa forma quadrática deve ser positiva semidefinida.
Passo 4
A matriz associada à forma quadrática
é:
Passo 5
Para que essa matriz seja positiva semidefinida, três condições devem ser atendidas:
- O elemento
deve ser não negativo. - O determinante da matriz deve ser não negativo.
- Todos os menores principais devem ser não negativos (no caso de matrizes 2x2, isso já está coberto pelas duas primeiras condições).
Passo 6
Vamos verificar a primeira condição:
Essa condição já está satisfeita.
Passo 7
Agora, vamos calcular o determinante da matriz:
Para que a matriz seja positiva semidefinida, precisamos que:
Passo 8
Vamos resolver essa inequação:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são todos os números reais dentro do intervalo
.