1. lim x infty(x1+x)^x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxtoinftyl(tfracx1+xr)^x. O conteúdo envolve limites de funções do tipo exponencial e a definição do número e. Vamos usar reescritas algébricas e o limite clássico limtto 0(1+t)^1/t=e.

Passo 2

Começamos reescrevendo a base de forma a ficar no modelo (1+algo)^algo. Note que
x1+x=11+1/x=l(1+tfrac1xr)^-1

Passo 3

Logo,
l(tfracx1+xr)^x=l(l(1+tfrac1xr)^-1r)^x=l(1+tfrac1xr)^-x

Passo 4

Agora use o limite clássico. Seja y=1/x, então yto0^+ quando xtoinfty, e
l(1+tfrac1xr)^-x=l(1+yr)^-1/y,

Passo 5

Como limyto0(1+y)^1/y=e, temos
limyto0(1+y)^-1/y=e^-1

Passo 6

Portanto o limite original é e^-1.

Resposta

e^{-1}

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