/2,5] Resolva as seguites questões:
(a) Calcule a área da superfície S dada por z=1-x^{2}-y^{2}, com z \geq 0.
(b) Suponha que a superfície regular limitada S está contida no plano x y. Considere a normal \vec{n} pontando para cima de S. Dado um campo F(x, y, z)=\left(F_{1}(x, y), F_{2}(x, y), 0\right) de classe C^{2} num aberto contendo S, mostre que o Teorema de Stokes aplicado à S nesse caso é exatamente o Teorema de Green.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados e pedidos:
(a) A superfície S é o gráfico da função z=1-x^{2}-y^{2} com z\ge 0. Ou seja, é o “tampo” da parábola inversa até a altura z=0. Pergunta: calcular a área da superfície S.
(b) Suponha que S é uma superfície regular limitada contida no plano xy (isto é, S é uma região do plano z=0). A normal \vec{n} aponta para cima. Dado um campo \mathbf{F}(x,y,z)=\big(F_{1}(x,y),F_{2}(x,y),0\big) de classe C^{2} num aberto contendo S, mostrar que aplicar o Teorema de Stokes em S dá exatamente o Teorema de Green.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Para (a): o domínio no plano xy onde a superfície existe é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}, pois z=1-x^{2}-y^{2}\ge0 \iff x^{2}+y^{2}\le1.
Para (b): S está no plano z=0 e a normal escolhida é \vec{n}=(0,0,1). O campo \mathbf{F} tem componente z nula e depende só de x,y.
Passo 2
A fórmula para a área de uma superfície que é gráfico de uma função z=f(x,y) sobre uma região D do plano xy.
Explicação didática do porquê:
Se a superfície é z=f(x,y), dois vetores tangentes no ponto (x,y,f(x,y)) são \displaystyle \mathbf{r}_x=(1,0,f_x) e \displaystyle \mathbf{r}_y=(0,1,f_y),
onde f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x} e f_y=\dfrac{\partial f}{\partial y}.
A área de um pequeno paralelogramo tangente é o módulo do produto vetorial \|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\|.
Calculando o produto vetorial obtém-se\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = (-f_x,-f_y,1)e o seu módulo é\sqrt{f_x^{2}+f_y^{2}+1}.
Assim, a área total da superfície sobre D é\iint_{D}\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}\\ dA.
Aqui dA é a área infinitesimal no plano xy (por exemplo dx\,dy).
com orientação de \partial D sendo anti-horária (contraclockwise).
Objetivo: mostrar que, no caso do enunciado (superfície em z=0, normal para cima, campo \mathbf{F}=(F_1,F_2,0)), a igualdade de Stokes se reduz exatamente à igualdade de Green.
Passo 6
Calcular o rotacional de \mathbf{F} e o produto escalar com a normal.
O campo dado é \displaystyle \mathbf{F}(x,y,z)=\big(F_{1}(x,y),F_{2}(x,y),0\big). Como F_{1} e F_{2} não dependem de z e a terceira componente é zero, o rotacional é
A superfície S está no plano z=0 e a normal unitária para cima é \mathbf{n}=(0,0,1). Portanto o produto escalar que aparece no lado direito de Stokes é
Além disso, como S é um pedaço plano em z=0, o elemento de área da superfície é igual ao elemento de área do plano xy: dS=dA. Assim o lado direito de Stokes fica
onde D é a região do plano xy identificada com S.]
Passo 7
Relacionar a integral de linha (lado esquerdo de Stokes) com a integral de linha de Green.
A integral de linha na expressão de Stokes é \displaystyle \int_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}. Como S\subset\{z=0\}, qualquer curva \partial S tem coordenadas (x(t),y(t),0) e d\mathbf{r}=(dx,dy,dz)=(dx,dy,0). Portanto
com a orientação de \partial D determinada pela normal \mathbf{n} segundo a regra da mão direita. Se \mathbf{n}=(0,0,1) (para cima), essa orientação é anticlockwise, que é a orientação padrão usada no enunciado de Green.
Passo 8
Concluir a equivalência (mostrar que Stokes = Green).
Juntando os dois resultados:
o lado esquerdo de Stokes é \displaystyle \oint_{\partial D} F_1\,dx+F_2\,dy;
o lado direito de Stokes é \displaystyle \iint_{D}\big(\partial_x F_2-\partial_y F_1\big)dA.
Logo, para a superfície plana S com normal para cima e campo \mathbf{F}=(F_1,F_2,0),