Assume that w=f\left(s^{3}+t^{2}\right) and f^{\prime}(x)=e^{x}. Find \frac{\partial w}{\partial t} and \frac{\partial w}{\partial s}.

Passo 1

O enunciado dá a função composta w=f\big(s^{3}+t^{2}\big) e informa que f'(x)=e^{x}. O que é pedido:
  • Calcular \dfrac{\partial w}{\partial t}.
  • Calcular \dfrac{\partial w}{\partial s}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função exterior é f e sua derivada é f'(x)=e^{x} (isso vale para qualquer argumento x).
  • A função interior (a entrada de f) é u(s,t)=s^{3}+t^{2}.
  • As variáveis independentes são s e t.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): quando uma função w depende de s e t apenas através de uma função intermediária u(s,t), isto é, w=f(u(s,t)), então as derivadas parciais calculam como variações de w se dão através de u. A regra que aplica é a regra da cadeia para derivadas parciais: se w=f(u) e u=u(s,t), então
\frac{\partial w}{\partial s}=f'\big(u(s,t)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial s}, \qquad \frac{\partial w}{\partial t}=f'\big(u(s,t)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial t}.
Explicando cada símbolo:
  • \dfrac{\partial w}{\partial s} é a taxa de variação de w quando só s varia.
  • f'(u) é a derivada de f avaliada no ponto u(s,t).
  • \dfrac{\partial u}{\partial s} é a derivada parcial da função interna u em relação a s.
Isso faz sentido intuitivamente: uma pequena variação em s muda u em \dfrac{\partial u}{\partial s} vezes a variação de s; essa variação de u muda w em f'(u) vezes a variação de u. Multiplica-se tudo (cadeia de efeitos).

Passo 3

Identificar a função interna e calcular suas derivadas parciais:
Defina
u(s,t)=s^{3}+t^{2}.
Agora calcule as derivadas parciais de u.
Derivada parcial de u em relação a t: tratar s como constante e derivar t^{2}. Pela regra do poder (se g(t)=t^{n}, então g'(t)=n t^{n-1}),
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\big(s^{3}+t^{2}\big)=0+2t=2t.
Aqui o termo s^{3} é constante quando derivamos em relação a t, por isso contribui com 0.
Derivada parcial de u em relação a s: tratar t como constante e derivar s^{3}. Aplicando a mesma regra do poder,
\frac{\partial u}{\partial s}=\frac{\partial}{\partial s}\big(s^{3}+t^{2}\big)=3s^{2}+0=3s^{2}.
O termo t^{2} é constante em relação a s, por isso dá 0.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia usando os resultados anteriores. Lembre-se que foi dado f'(x)=e^{x}, isto é, para qualquer argumento x,
f'(x)=e^{x}.
No nosso caso o argumento é u(s,t)=s^{3}+t^{2}, então
f'\big(u(s,t)\big)=e^{u(s,t)}=e^{\,s^{3}+t^{2}}.
Agora faça a multiplicação da regra da cadeia para \dfrac{\partial w}{\partial t}:
\frac{\partial w}{\partial t}=f'\big(u(s,t)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial t}=e^{\,s^{3}+t^{2}}\cdot 2t.
Podemos escrever de forma mais limpa:
\frac{\partial w}{\partial t}=2t\,e^{\,s^{3}+t^{2}}.

Passo 5

Análogo para \dfrac{\partial w}{\partial s}: usar a regra da cadeia com \dfrac{\partial u}{\partial s}=3s^{2}:
\frac{\partial w}{\partial s}=f'\big(u(s,t)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial s}=e^{\,s^{3}+t^{2}}\cdot 3s^{2}.
Ou seja,
\frac{\partial w}{\partial s}=3s^{2}\,e^{\,s^{3}+t^{2}}.

Passo 6

Verificação numérica (pequeno exemplo para fixar): por exemplo, se s=1 e t=2,
\frac{\partial w}{\partial t}\Big|_{(1,2)}=2\cdot 2\cdot e^{1^{3}+2^{2}}=4e^{1+4}=4e^{5},
\frac{\partial w}{\partial s}\Big|_{(1,2)}=3\cdot 1^{2}\cdot e^{1+4}=3e^{5}.
Isso mostra como usar as fórmulas em casos concretos — serve para checar se está fazendo certo na prova.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t}=2t\,e^{\,s^{3}+t^{2}}
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s}=3s^{2}\,e^{\,s^{3}+t^{2}}

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