Assume that
and
. Find
and
.
Passo 1
O enunciado dá a função composta
e informa que
. O que é pedido:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função exterior é
e sua derivada é (isso vale para qualquer argumento ). - A função interior (a entrada de
) é . - As variáveis independentes são
e .
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): quando uma função
depende de
e
apenas através de uma função intermediária
, isto é,
, então as derivadas parciais calculam como variações de
se dão através de
. A regra que aplica é a regra da cadeia para derivadas parciais: se
e
, então
Explicando cada símbolo:
-
é a taxa de variação de quando só varia. -
é a derivada de avaliada no ponto . -
é a derivada parcial da função interna em relação a .
Isso faz sentido intuitivamente: uma pequena variação em
muda
em
vezes a variação de
; essa variação de
muda
em
vezes a variação de
. Multiplica-se tudo (cadeia de efeitos).
Passo 3
Identificar a função interna e calcular suas derivadas parciais:
Defina
Defina
Agora calcule as derivadas parciais de
.
Derivada parcial de
em relação a
: tratar
como constante e derivar
. Pela regra do poder (se
, então
),
Aqui o termo
é constante quando derivamos em relação a
, por isso contribui com
.
Derivada parcial de
em relação a
: tratar
como constante e derivar
. Aplicando a mesma regra do poder,
O termo
é constante em relação a
, por isso dá
.
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia usando os resultados anteriores. Lembre-se que foi dado
, isto é, para qualquer argumento
,
No nosso caso o argumento é
, então
Agora faça a multiplicação da regra da cadeia para
:
Podemos escrever de forma mais limpa:
Passo 5
Análogo para
: usar a regra da cadeia com
:
Ou seja,
Passo 6
Verificação numérica (pequeno exemplo para fixar): por exemplo, se
e
,
Isso mostra como usar as fórmulas em casos concretos — serve para checar se está fazendo certo na prova.