Changing voltage in a circuit The voltage V in a circuit that satisfies the law V=I R is slowly dropping as the battery wears out. At the same time, the resistance R is increasing as the resistor heats up. Use the equation
\frac{d V}{d t}=\frac{\partial V}{\partial I} \frac{d I}{d t}+\frac{\partial V}{\partial R} \frac{d R}{d t}
to find how the current is changing at the instant when R= 600 \mathrm{ohms}, I=0.04 \mathrm{amp}, d R / d t=0.5 \mathrm{ohm} / \mathrm{sec}, and d V / d t= -0.01 volt / \mathrm{sec}.

Passo 1

O enunciado dá a relação V=I R e fornece a fórmula da derivada total
\frac{dV}{dt}=\frac{\partial V}{\partial I}\frac{dI}{dt}+\frac{\partial V}{\partial R}\frac{dR}{dt}.
O que se pede: determinar a taxa de variação da corrente, isto é \dfrac{dI}{dt}, no instante em que os valores são:
  • R=600\\ \mathrm{\Omega},
  • I=0,04\\ \mathrm{A},
  • \dfrac{dR}{dt}=0,5\\ \mathrm{\Omega/s},
  • \dfrac{dV}{dt}=-0,01\\ \mathrm{V/s}.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de V em relação a I e R, tratando a outra variável como constante (isso é o que significa derivada parcial).
A partir de V=IR:
  • Derivando em relação a I com R fixo obtemos \dfrac{\partial V}{\partial I}=R. Aqui R é vista como constante, então a derivada de I\mapsto IR é R.
  • Derivando em relação a R com I fixo obtemos \dfrac{\partial V}{\partial R}=I. Aqui I é constante, então a derivada de R\mapsto IR é I.

Passo 3

Substituindo essas parciais na fórmula dada para \dfrac{dV}{dt} temos a relação mais simples
\frac{dV}{dt}=R\frac{dI}{dt}+I\frac{dR}{dt}.
Isto faz sentido fisicamente: a variação de V vem da variação de I (com coeficiente R) e da variação de R (com coeficiente I).

Passo 4

Isolamos \dfrac{dI}{dt} da equação anterior:
\frac{dI}{dt}=\frac{\dfrac{dV}{dt}-I\,\dfrac{dR}{dt}}{R}.
Esse é o passo algébrico principal: subtrai-se o termo I\,\dfrac{dR}{dt} e divide-se por R.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos passo a passo (atenção às unidades: I\cdot dR/dt tem unidades de V/s, compatível com dV/dt):
  • Calcular I\,\dfrac{dR}{dt}:
I\frac{dR}{dt}=0,04\cdot 0,5=0,02\\ \mathrm{V/s}.
  • Numerador:
\frac{dV}{dt}-I\frac{dR}{dt}=-0,01-0,02=-0,03\\ \mathrm{V/s}.
  • Dividindo por R:
\frac{dI}{dt}=\frac{-0,03}{600}=-0,00005\\ \mathrm{A/s}.
Em unidades mais convenientes isso é -50\\ \mu\mathrm{A/s}.

Passo 6

Interpretação rápida e motivacional: a corrente está diminuindo naquele instante à taxa de 0,00005\\ \mathrm{A/s} (ou seja, decresce 50\\ \mu\mathrm{A} a cada segundo). Boa! Você aplicou a regra da cadeia com derivadas parciais direitinho — é exatamente isso que costuma cair em prova.

Resposta

-0,00005\\ \mathrm{A/s}

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