Changing voltage in a circuit The voltage
in a circuit that satisfies the law
is slowly dropping as the battery wears out. At the same time, the resistance
is increasing as the resistor heats up. Use the equation
to find how the current is changing at the instant when
, and
-0.01 volt
.
Passo 1
O enunciado dá a relação
e fornece a fórmula da derivada total
O que se pede: determinar a taxa de variação da corrente, isto é
, no instante em que os valores são:
-
, -
, -
, -
.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, tratando a outra variável como constante (isso é o que significa derivada parcial).
A partir de :
A partir de
- Derivando em relação a
com fixo obtemos . Aqui é vista como constante, então a derivada de é . - Derivando em relação a
com fixo obtemos . Aqui é constante, então a derivada de é .
Passo 3
Substituindo essas parciais na fórmula dada para
temos a relação mais simples
Isto faz sentido fisicamente: a variação de
vem da variação de
(com coeficiente
) e da variação de
(com coeficiente
).
Passo 4
Isolamos
da equação anterior:
Esse é o passo algébrico principal: subtrai-se o termo
e divide-se por
.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos passo a passo (atenção às unidades:
tem unidades de V/s, compatível com
):
- Calcular
:
- Numerador:
- Dividindo por
:
Em unidades mais convenientes isso é
.
Passo 6
Interpretação rápida e motivacional: a corrente está diminuindo naquele instante à taxa de
(ou seja, decresce
a cada segundo). Boa! Você aplicou a regra da cadeia com derivadas parciais direitinho — é exatamente isso que costuma cair em prova.