[\quad / 2,5] Sejam \vec{F}(x, y, z)=\left(\operatorname{sen}^{2} y-2 x z\right) \vec{i}+(y+\operatorname{sen} x z) \vec{j}+\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \vec{k} e S a semi-esfera z=-\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}. Calcule a integral de superfície \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d s, onde a normal \vec{n} aponta para baixo de S.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a integral de fluxo:
A normal pedida é \vec{n} apontando para baixo (isto é, com componente z negativa) sobre S.
Pedido: calcular a integral de superfície
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.
Passo 2
Estratégia (escolha do método) — explicação curta e motivo:
Fecho a superfície S adicionando o disco plano D no plano z=0 limitado pelo círculo x^{2}+y^{2}\le 4. Assim obtenho a superfície fechada \partial V=S\cup D que é fronteira do volume V: a meia-bola inferior de raio 2. Vou usar o Teorema da Divergência (Gauss) que diz que, para uma região V com fronteira orientada para fora,
Motivo: o fluxo pela superfície fechada se relaciona com a divergência integrada no volume; isso transforma um problema de superfície em uma integral de volume simples. A orientação “para fora” do volume é consistente com a normal de S apontando para baixo (no casco esférico inferior a normal externa aponta para baixo); no disco D a normal externa será para cima (+\vec{k}).
Passo 3
Calcular a divergência \operatorname{div}\vec{F}. Definição: \operatorname{div}\vec{F}=\dfrac{\partial F_x}{\partial x}+\dfrac{\partial F_y}{\partial y}+\dfrac{\partial F_z}{\partial z}, onde F_x,F_y,F_z são as componentes do campo.
Calcular o fluxo através do disco D (plano z=0, raio 2). Para o disco a normal externa ao volume é para cima, isto é \vec{n}_D=+\vec{k}. Avalio o campo em z=0: