[\quad / 2,5] Sejam \vec{F}(x, y, z)=\left(\operatorname{sen}^{2} y-2 x z\right) \vec{i}+(y+\operatorname{sen} x z) \vec{j}+\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \vec{k} e S a semi-esfera z=-\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}. Calcule a integral de superfície \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d s, onde a normal \vec{n} aponta para baixo de S.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a integral de fluxo:
  • Campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(\operatorname{sen}^{2}y-2xz\bigr)\,\vec{i}+\bigl(y+\operatorname{sen}x\,z\bigr)\,\vec{j}+\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,\vec{k}.
  • Superfície S: a semiesfera inferior dada por
z=-\sqrt{4-x^{2}-y^{2}},
ou seja, a casca esférica de raio 2 com z\le 0.
  • A normal pedida é \vec{n} apontando para baixo (isto é, com componente z negativa) sobre S.
  • Pedido: calcular a integral de superfície
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.

Passo 2

Estratégia (escolha do método) — explicação curta e motivo:
Fecho a superfície S adicionando o disco plano D no plano z=0 limitado pelo círculo x^{2}+y^{2}\le 4. Assim obtenho a superfície fechada \partial V=S\cup D que é fronteira do volume V: a meia-bola inferior de raio 2. Vou usar o Teorema da Divergência (Gauss) que diz que, para uma região V com fronteira orientada para fora,
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Motivo: o fluxo pela superfície fechada se relaciona com a divergência integrada no volume; isso transforma um problema de superfície em uma integral de volume simples. A orientação “para fora” do volume é consistente com a normal de S apontando para baixo (no casco esférico inferior a normal externa aponta para baixo); no disco D a normal externa será para cima ( +\vec{k}).

Passo 3

Calcular a divergência \operatorname{div}\vec{F}. Definição: \operatorname{div}\vec{F}=\dfrac{\partial F_x}{\partial x}+\dfrac{\partial F_y}{\partial y}+\dfrac{\partial F_z}{\partial z}, onde F_x,F_y,F_z são as componentes do campo.
Aqui
F_x=\operatorname{sen}^{2}y-2xz,\qquad F_y=y+\operatorname{sen}x\,z,\qquad F_z=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Derivando termo a termo:
\frac{\partial F_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\operatorname{sen}^{2}y-2xz\bigr)=0-2z=-2z,
\frac{\partial F_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y+\operatorname{sen}x\,z\bigr)=1+0=1,
\frac{\partial F_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)=2z.
Somando,
\operatorname{div}\vec{F}=-2z+1+2z=1.
Comentário: as parcelas em z se cancelam e a divergência é a constante 1. Isso simplifica muito a integral de volume.

Passo 4

Aplicar o Teorema da Divergência ao volume V (meia-bola inferior de raio 2):
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Como \operatorname{div}\vec{F}=1,
\iiint_{V}1\,dV=\operatorname{Vol}(V).
O volume de uma esfera de raio 2 é \dfrac{4}{3}\pi(2)^{3}=\dfrac{32\pi}{3}. A metade (meia-bola) é
\operatorname{Vol}(V)=\frac{1}{2}\cdot\frac{32\pi}{3}=\frac{16\pi}{3}.
Portanto a soma dos fluxos pela semiesfera S e pelo disco D vale \dfrac{16\pi}{3}:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\frac{16\pi}{3}.

Passo 5

Calcular o fluxo através do disco D (plano z=0, raio 2). Para o disco a normal externa ao volume é para cima, isto é \vec{n}_D=+\vec{k}. Avalio o campo em z=0:
\vec{F}(x,y,0)=\bigl(\operatorname{sen}^{2}y\bigr)\vec{i}+\bigl(y\bigr)\vec{j}+\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\vec{k}.
O produto escalar com a normal \vec{k} é
\vec{F}\cdot\vec{n}_D=x^{2}+y^{2}.
Logo o fluxo pelo disco é
\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}_D\,dS=\iint_{x^{2}+y^{2}\le 4}(x^{2}+y^{2})\,dA.
Passo a coordenadas polares: x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;x^{2}+y^{2}=r^{2},\;dA=r\,dr\,d\theta, com 0\le r\le 2,\;0\le\theta\le 2\pi. Assim
\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2} r^{3}\,dr.
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{2} r^{3}\,dr=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{2}=\frac{16}{4}=4.
Então
\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}_D\,dS=(2\pi)\cdot 4=8\pi.

Passo 6

Determinar o fluxo pela semiesfera S usando a relação do Passo 4:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\frac{16\pi}{3}-\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}_D\,dS =\frac{16\pi}{3}-8\pi.
Fazendo as contas:
8\pi= \frac{24\pi}{3},\qquad \frac{16\pi}{3}-\frac{24\pi}{3}=-\frac{8\pi}{3}.
Portanto
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=-\frac{8\pi}{3}.

Resposta

-\dfrac{8\pi}{3}

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