[5] A tabela
2.7
2
1.61
1.2
1.02
48
67
83
108
126
foi gerada a partir de posições de um cometa em coordenadas polares convenientes. Sabendo-se que a órbita do cometa é descrita pela lei de Kepler
estime
e
usando o método dos mínimos quadrados:
(a) a partir do problema linearizado;
(b) usando mínimos quadrados não linear nos parâmetros.
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2.7 | 2 | 1.61 | 1.2 | 1.02 |
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48 | 67 | 83 | 108 | 126 |
(a) a partir do problema linearizado;
(b) usando mínimos quadrados não linear nos parâmetros.
Passo 1
O enunciado nos dá medidas
de um cometa, com
e a lei de Kepler
Queremos estimar os parâmetros
e
por mínimos quadrados, em duas abordagens:
(a) linearizando o modelo;
(b) ajustando o modelo não linear diretamente.
(a) linearizando o modelo;
(b) ajustando o modelo não linear diretamente.
Passo 2
Para linearizar escrevemos
Definimos
e modelamos
onde
Calculamos
e as somas
Passo 3
As fórmulas dos coeficientes da reta
são
Substituindo os valores numéricos obtém-se
Passo 4
Voltando a
e
, temos
Passo 5
Para o ajuste não linear minimizamos
Usamos um passo de Gauss–Newton: definimos
resíduos
e jacobiano
Com o chute inicial
calculamos matrizes de normal e vetor de correção
.
Passo 6
Resolvendo
obtemos em uma iteração
logo a estimativa refinada é
Resposta
(a) Pela linearização:
,
.
(b) Pelo ajuste não linear (Gauss–Newton):
,
.
(b) Pelo ajuste não linear (Gauss–Newton):