[5] A tabela
2.7 2 1.61 1.2 1.02
48 67 83 108 126
foi gerada a partir de posições de um cometa em coordenadas polares convenientes. Sabendo-se que a órbita do cometa é descrita pela lei de Kepler
estime e usando o método dos mínimos quadrados:
(a) a partir do problema linearizado;
(b) usando mínimos quadrados não linear nos parâmetros.

Passo 1

O enunciado nos dá medidas (ri,thetai) de um cometa, com
r=(2,7,,2,0,,1,61,,1,20,,1,02), theta=(48^circ,,67^circ,,83^circ,,108^circ,,126^circ),
e a lei de Kepler
r=p1 - qcostheta
Queremos estimar os parâmetros p e q por mínimos quadrados, em duas abordagens:
(a) linearizando o modelo;
(b) ajustando o modelo não linear diretamente.

Passo 2

Para linearizar escrevemos
1r = 1 - qcosthetap = 1p - qp,costheta
Definimos
yi = 1ri, xi = costhetai,
e modelamos
yi approx a + b,xi,
onde
a = 1p, b = -qp
Calculamos xi,yi e as somas
sum xi approx 0,2849, sum yi approx 3,3052, sum xi^2 approx 1,0563, sum xi yi approx -0,3151, n=5

Passo 3

As fórmulas dos coeficientes da reta y=a+b,x são
b=nsum xi yi - (sum xi)(sum yi) nsum xi^2 - (sum xi)^2, a=sum yi - bsum xin
Substituindo os valores numéricos obtém-se
bapprox -0,4842, aapprox 0,6886

Passo 4

Voltando a p e q, temos
p = 1a approx 1,4520, q = - b a approx 0,7034

Passo 5

Para o ajuste não linear minimizamos
S(p,q)=sumi=1^5l(ri - p1 - qcosthetair)^2
Usamos um passo de Gauss–Newton: definimos
fi(p,q)=p1-qcosthetai,
resíduos ei=ri-fi e jacobiano
partial fipartial p=11-qcosthetai, partial fipartial q=pcosthetai(1-qcosthetai)^2
Com o chute inicial (p0,q0)=(1,4520,0,7034) calculamos matrizes de normal e vetor de correção de<a=(de<ap,de<aq).

Passo 6

Resolvendo J^T J,de<a=J^T e obtemos em uma iteração
de<apapprox +0,0067, de<aqapprox -0,0146,
logo a estimativa refinada é
papprox1,4587, qapprox0,6888

Resposta

(a) Pela linearização:
papprox1,452, qapprox0,703.
(b) Pelo ajuste não linear (Gauss–Newton):
papprox1,459, qapprox0,689.

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