[6] Dados os polinômios de Legendre: p0(x)=1, p1(x)=x e p2(x)=12(3 x^2-1) que obedecema seguinte definição:
<pi, pj>=integral-1^1 pi(x) pj(x) d x=cl 0, & i neq j 22 i+1, & i=j
(a) Determine o polinômio de grau dois, usando os polinômios de Legendre, que melhor aproxima f(x)= x^3-1, no intervalo [-1,1].
(b) Determine o polinômio de grau dois que melhor aproxima f(x)=sin (x) no intervalo [0, pi]. Note que será necessária uma mudança de variáveis para a utilização dos polinômios de Legendre.

Passo 1

O enunciado nos dá os polinômios de Legendre
p0(x)=1, p1(x)=x, p2(x)=tfrac12(3x^2-1)
com produto interno
lang<= pi,pjrang<==integral-1^1pi(x)pj(x),dx= 0,&ineq j, dfrac22i+1,&i=j
Queremos encontrar o polinômio de grau 2 que melhor aproxima f(x) em dois casos por projeção ortogonal no subespaço gerado por p0,p1,p2.
(a) f(x)=x^3-1 em [-1,1].
(b) f(x)=sin(x) em [0,pi], mapeando primeiro para [-1,1] pela mudança de variável
t=2x-pipi, x=pi2(t+1)

Passo 2

(a) Calculamos os coeficientes
ai=lang<= f,pirang<=lang<= pi,pirang<=, i=0,1,2
Para i=0:
lang<= f,p0rang<==integral-1^1(x^3-1),dx =l[tfracx^44-xr]-1^1 =0-2=-2, lang<= p0,p0rang<==2, a0=-1
Para i=1:
lang<= f,p1rang<==integral-1^1(x^3-1)x,dx =integral-1^1x^4,dx-integral-1^1x,dx =tfrac25-0=tfrac25, lang<= p1,p1rang<==tfrac23, a1=tfrac25tfrac23=tfrac35
Para i=2:
lang<= f,p2rang<= =tfrac12integral-1^1(x^3-1)(3x^2-1),dx =0, a2=0
Logo o melhor polinômio de grau 2 é
P2(x)=a0p0(x)+a1p1(x) =-1cdot1+tfrac35x =tfrac35x-1

Passo 3

(b) Fazemos a mudança xmapsto t em [0,pi]to[-1,1]:
t=2x-pipi, x=pi2(t+1), g(t)=sin!l(tfracpi2(t+1)r)
Procuramos
Q2(t)=sumi=0^2bi,pi(t), bi=lang<= g,pirang<=lang<= pi,pirang<=,
onde agora
lang<= g,pirang<= =integral-1^1g(t)pi(t),dt =2piintegral0^pisin(u),pi!l(tfrac2upi-1r),du

Passo 4

Calculamos b0 e b1:
lang<= g,p0rang<= =2piintegral0^pisin(u),du =2picdot2=4pi, lang<= p0,p0rang<==2, b0=4/pi2=2pi
lang<= g,p1rang<= =2piintegral0^pisin(u)l(tfrac2upi-1r),du =0, lang<= p1,p1rang<==tfrac23, b1=0

Passo 5

Calculamos b2. Usando integração por partes obtém-se
lang<= g,p2rang<= =12cdot2piintegral0^pisin(u)l(3(tfrac2upi-1)^2-1r),du =4pil(1-12pi^2r),
lang<= p2,p2rang<==25, b2=4pi(1-12pi^2)2/5 =10pi-120pi^3
Então
Q2(t) =2pi +l(10pi-120pi^3r),12(3t^2-1)

Passo 6

Voltando a x, temos t=tfrac2xpi-1 e t^2=tfrac4x^2pi^2-tfrac4xpi+1.
Expandindo Q2(t) em função de x, obtemos
P2(x)=underbracel(12pi-120pi^3r)constante +underbracel(-20pi^2+240pi^4r)coef de x,x +underbracel(20pi^3-240pi^5r)coef de x^2,x^2

Resposta

(a) P2(x)=tfrac35x-1
(b)
P2(x) =l(tfrac12pi-tfrac120pi^3r) +l(-tfrac20pi^2+tfrac240pi^4r)x +l(tfrac20pi^3-tfrac240pi^5r)x^2

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