[5] usando o Teorema de Vaschi-Buckingham solicita-se estabelecer uma equação para calcular a força devido a um jato de fluido que escoa através de um bocal em jato livre. Sabe-se que a força é função da massa específica do fluido ( ⟩ ) da velocidade do fluido (V) e da vazão do escoamento (Q). Use o sistema probásico [M][L][T]

Passo 1

O que o enunciado pede: estabelecer uma equação, via Teorema de Vaschy–Buckingham, para calcular a força gerada por um jato de fluido que escoa através de um bocal em jato livre.
Informações dadas (variáveis relevantes):
  • Força: \;F.
  • Massa específica (densidade) do fluido: \;\rho.
  • Velocidade do fluido: \;V.
  • Vazão volumétrica do escoamento: \;Q.
    Sistema adimensional pedido: [M][L][T].
    Dimensões de cada variável (no sistema [M][L][T]):
\dim(F)=M\,L\,T^{-2}
\dim(\rho)=M\,L^{-3}
\dim(V)=L\,T^{-1}
\dim(Q)=L^{3}\,T^{-1}

Passo 2

Resumo rápido do Teorema de Buckingham (no estilo prático que vamos aplicar): se temos n variáveis e k dimensões fundamentais, então existem p=n-k grupos adimensionais independentes \Pi. Aqui:
  • Número de variáveis n=4 ( F,\rho,V,Q ).
  • Número de dimensões fundamentais k=3 ( M,L,T).
    Logo o número de grupos adimensionais é
p=n-k=4-3=1.
Isso significa que todas as variáveis podem ser agrupadas em um único grupo adimensional \Pi; a relação física terá a forma \Pi=\text{constante}, o que dará a equação desejada.

Passo 3

Formamos um grupo adimensional envolvendo F e potências desconhecidas das outras variáveis. Escrevemos:
\Pi = F\,\rho^{a}\,V^{b}\,Q^{c},
onde a,b,c são expoentes a determinar de modo que \Pi seja adimensional.

Passo 4

Calculemos as dimensões do lado direito e imponhamos que sejam adimensionais (ou seja, expoentes de M,L,T iguais a zero). Usando as dimensões listadas:
\dim(\Pi)=\dim(F)\,\dim(\rho)^{a}\,\dim(V)^{b}\,\dim(Q)^{c}
= (M\,L\,T^{-2})\,(M\,L^{-3})^{a}\,(L\,T^{-1})^{b}\,(L^{3}\,T^{-1})^{c}
Agora simplificamos os expoentes em cada base M,L,T:
\dim(\Pi)=M^{1+a}\,L^{\,1-3a+b+3c}\,T^{-2-b-c}.
Para que \Pi seja adimensional, devemos ter os expoentes iguais a zero; obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 1 + a = 0,\\[4pt] 1 - 3a + b + 3c = 0,\\[4pt] -2 - b - c = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação obtemos
a = -1.
Substituindo em segunda e terceira equações:
Segunda: 1 - 3(-1) + b + 3c = 0 \Rightarrow 1 + 3 + b + 3c = 0 \Rightarrow b + 3c = -4.
Terceira: -2 - b - c = 0 \Rightarrow b + c = -2.
Subtraindo as duas últimas: (b+3c)-(b+c)=2c = -2 \Rightarrow c = -1.
Então b = -2 - c = -2 -(-1) = -1.
Assim:
a=b=c=-1.

Passo 6

Com a=b=c=-1 temos
\Pi = F\,\rho^{-1}\,V^{-1}\,Q^{-1} = \frac{F}{\rho V Q}.
Como \Pi é adimensional e existe apenas um grupo, a relação física é
\frac{F}{\rho V Q} = C,
onde C é uma constante adimensional (não determinada pela análise de dimensões). Rearranjando:
F = C\,\rho\,V\,Q.
Interpretação física (didática e rápida): \dot{m}=\rho Q é a vazão mássica; o produto \dot{m}V=\rho Q V é o fluxo de momento do jato — faz sentido físico que a força escalar sobre um corpo por impacto do jato seja proporcional a esse fluxo de momento. A análise dimensional não dá o valor numérico de C (ele depende do perfil do jato, perdas, geometria, etc.); para um jato ideal e perfil uniforme frequentemente C\approx 1.

Resposta

F = C\,\rho\,V\,Q

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