[5] usando o Teorema de Vaschi-Buckingham solicita-se estabelecer uma equação para calcular a força devido a um jato de fluido que escoa através de um bocal em jato livre. Sabe-se que a força é função da massa específica do fluido ( ⟩ ) da velocidade do fluido ( V ) e da vazão do escoamento (Q). Use o sistema probásico [F][L][T]
Passo 1
O enunciado pede que, usando o Teorema de Vaschy–Buckingham, eu estabeleça uma equação para calcular a força causada por um jato de fluido que escoa através de um bocal em jato livre. As informações dadas são:
A força é função da massa específica do fluido, da velocidade do fluido e da vazão do escoamento.
Variáveis envolvidas: \rho (massa específica), V (velocidade), Q (vazão volumétrica) e F (força).
O sistema probásico de dimensões fornecido é [F][L][T], ou seja, as dimensões fundamentais são força, comprimento e tempo.
Passo 2
Aplicando o procedimento do Teorema de Buckingham: contamos o número de variáveis e o número de dimensões básicas.
Número de variáveis: n=4 (são F,\\ \rho,\\ V,\\ Q).
Número de dimensões fundamentais: r=3 ([F], [L], [T]).
Número de grupos adimensionais esperados: m = n - r = 1. Portanto haverá exatamente um \Pi-grupo independente e a relação entre as variáveis será do tipo \Pi_1=\text{constante}.
Vou escolher como variáveis repetidas \rho,\\ V,\\ Q (ou seja, vou formar o \Pi usando F multiplicado por potências dessas três). Essa escolha é válida porque as três juntas contêm todas as dimensões fundamentais [F],[L],[T].
Passo 3
Antes de montar o \Pi, preciso escrever as dimensões de cada variável no sistema [F][L][T]. Para isso relaciono massa M em função de F,L,T usando a 2ª lei de Newton \;F = M L T^{-2}. Assim:
M = F\,T^{2}\,L^{-1}.
Agora as dimensões:
Força F: [F].
Massa específica \rho (massa/volume): \rho tem dimensão M L^{-3}. Substituindo M:
Pelo Teorema de Buckingham \Pi é função adimensional constante (não há outras variáveis adimensionais restantes), então
\frac{F}{\rho\,V\,Q} = C,
onde C é uma constante adimensional que depende de detalhes geométricos/condições do escoamento não incluídas nas variáveis consideradas. Isolando F:
F = C\\ \rho\,V\,Q.
Passo 7
Interpretação física e verificação dimensional rápida:
A expressão pode ser escrita usando a vazão mássica \dot{m}, já que \dot{m}=\rho\,Q. Assim
F = C\\ \dot{m}\,V.
Faz sentido físico: força associada ao jato está relacionada ao fluxo de quantidade de movimento (\dot{m}V). No caso ideal de um jato livre que apenas escoa para fora causando reação no bocal, o fator C costuma ser C\approx 1 (para um jato sem perda e com velocidade média V); em outros arranjos geométricos ou com reflexão do fluxo C pode ter outro valor (por exemplo um jato que é completamente refletido poderia gerar C\approx 2). O importante é que o Teorema de Buckingham fornece a forma funcional geral, com uma constante adimensional a ser determinada por teoria detalhada ou experimento.