[5] usando o Teorema de Vaschi-Buckingham solicita-se estabelecer uma equação para calcular a força devido a um jato de fluido que escoa através de um bocal em jato livre. Sabe-se que a força é função da massa específica do fluido ( ⟩ ) da velocidade do fluido ( V ) e da vazão do escoamento (Q). Use o sistema probásico [F][L][T]

Passo 1

O enunciado pede que, usando o Teorema de Vaschy–Buckingham, eu estabeleça uma equação para calcular a força causada por um jato de fluido que escoa através de um bocal em jato livre. As informações dadas são:
  • A força é função da massa específica do fluido, da velocidade do fluido e da vazão do escoamento.
  • Variáveis envolvidas: \rho (massa específica), V (velocidade), Q (vazão volumétrica) e F (força).
  • O sistema probásico de dimensões fornecido é [F][L][T], ou seja, as dimensões fundamentais são força, comprimento e tempo.

Passo 2

Aplicando o procedimento do Teorema de Buckingham: contamos o número de variáveis e o número de dimensões básicas.
  • Número de variáveis: n=4 (são F,\\ \rho,\\ V,\\ Q).
  • Número de dimensões fundamentais: r=3 ( [F], [L], [T]).
  • Número de grupos adimensionais esperados: m = n - r = 1. Portanto haverá exatamente um \Pi-grupo independente e a relação entre as variáveis será do tipo \Pi_1=\text{constante}.
Vou escolher como variáveis repetidas \rho,\\ V,\\ Q (ou seja, vou formar o \Pi usando F multiplicado por potências dessas três). Essa escolha é válida porque as três juntas contêm todas as dimensões fundamentais [F],[L],[T].

Passo 3

Antes de montar o \Pi, preciso escrever as dimensões de cada variável no sistema [F][L][T]. Para isso relaciono massa M em função de F,L,T usando a 2ª lei de Newton \;F = M L T^{-2}. Assim:
M = F\,T^{2}\,L^{-1}.
Agora as dimensões:
  • Força F: [F].
  • Massa específica \rho (massa/volume): \rho tem dimensão M L^{-3}. Substituindo M:
[\rho] = (F\,T^{2}\,L^{-1})\,L^{-3} = F\,L^{-4}\,T^{2}.
Portanto [\rho]=[F\,L^{-4}\,T^{2}].
  • Velocidade V: [L\,T^{-1}].
  • Vazão volumétrica Q: [L^{3}\,T^{-1}].

Passo 4

Formo um \Pi-grupo multiplicativo envolvendo F e potências desconhecidas de \rho,\\ V,\\ Q:
\Pi = F\\ \rho^{a}\\ V^{b}\\ Q^{c}.
Quero escolher a,b,c de modo que \Pi seja adimensional. Escrevo as dimensões de \Pi usando as expressões do passo anterior:
[\Pi] = [F]\,[\rho]^{a}\,[V]^{b}\,[Q]^{c} = [F]\,(F\,L^{-4}\,T^{2})^{a}\,(L\,T^{-1})^{b}\,(L^{3}\,T^{-1})^{c}.
Agrupando expoentes das dimensões [F],[L],[T] obtemos:
[\Pi] = F^{\,1+a}\\ L^{-4a + b + 3c}\\ T^{\,2a - b - c}.
Para que \Pi seja adimensional, os expoentes de F,L,T devem ser zero. Isso fornece o sistema linear:
\begin{cases} 1 + a = 0,\\[4pt] -4a + b + 3c = 0,\\[4pt] 2a - b - c = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolvo o sistema para a,b,c.
Da primeira equação:
a = -1.
Substituo nas outras duas:
-4(-1) + b + 3c = 0 \quad\Rightarrow\quad 4 + b + 3c = 0 \quad\Rightarrow\quad b + 3c = -4,
2(-1) - b - c = 0 \quad\Rightarrow\quad -2 - b - c = 0 \quad\Rightarrow\quad b + c = -2.
Agora subtraio as duas equações:
(b+3c) - (b+c) = -4 - (-2) \quad\Rightarrow\quad 2c = -2 \quad\Rightarrow\quad c = -1.
Com c=-1 e b+c=-2 temos
b = -2 - c = -2 - (-1) = -1.
Portanto
a=-1,\quad b=-1,\quad c=-1.

Passo 6

Substituindo a,b,c em \Pi obtemos:
\Pi = F\\ \rho^{-1}\\ V^{-1}\\ Q^{-1} = \frac{F}{\rho\,V\,Q}.
Pelo Teorema de Buckingham \Pi é função adimensional constante (não há outras variáveis adimensionais restantes), então
\frac{F}{\rho\,V\,Q} = C,
onde C é uma constante adimensional que depende de detalhes geométricos/condições do escoamento não incluídas nas variáveis consideradas. Isolando F:
F = C\\ \rho\,V\,Q.

Passo 7

Interpretação física e verificação dimensional rápida:
  • A expressão pode ser escrita usando a vazão mássica \dot{m}, já que \dot{m}=\rho\,Q. Assim
F = C\\ \dot{m}\,V.
Faz sentido físico: força associada ao jato está relacionada ao fluxo de quantidade de movimento ( \dot{m}V). No caso ideal de um jato livre que apenas escoa para fora causando reação no bocal, o fator C costuma ser C\approx 1 (para um jato sem perda e com velocidade média V); em outros arranjos geométricos ou com reflexão do fluxo C pode ter outro valor (por exemplo um jato que é completamente refletido poderia gerar C\approx 2). O importante é que o Teorema de Buckingham fornece a forma funcional geral, com uma constante adimensional a ser determinada por teoria detalhada ou experimento.

Resposta

F = C\,\rho\,V\,Q

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