[ 2,50 ] Um bueiro circular sob uma rodovia tem 1,8 \mathrm{~m} de diâmetro e é feito de concreto com n=0,013 \mathrm{~s} \mathrm{~m}^{-1 / 3}. A declividade longitudinal apresenta um desnivel na vertical de 0,3 \mathrm{~m} a cada 150 m de comprimento na horizontal. Calcule a vazão que se estabelece em escoamento permanente uniforme quando o bueiro funcionar a meia seção.
a) Determinar a velocidade média do escoamento.
b) A eq. de Manning pode ser aplicada para a condição de escoamento apresentada? Justificar.

Passo 1

O enunciado dá um bueiro circular com as seguintes informações (vou listar tudo para a gente ficar alinhado):
D=1,8\\ \mathrm{m}
n=0,013\\ \mathrm{s\;m^{-1/3}}
A declividade longitudinal tem um desnível de 0,3\\ \mathrm{m} a cada 150\\ \mathrm{m} na horizontal. O bueiro funciona à meia seção (isto é, a seção molhada é uma semicircunferência). As perguntas são:
a) Determinar a velocidade média do escoamento.
b) A equação de Manning pode ser aplicada para essa condição? Justificar.

Passo 2

Calcular a declividade S. A declividade é a razão entre o desnível vertical e o comprimento horizontal:
S=\frac{0,3}{150}
Agora calculamos:
S=0,002
Explicação rápida: S é um número adimensional que representa a inclinação do conduto; aparece na equação de Manning como \sqrt{S}.

Passo 3

Geometria da meia seção (semicírculo). Primeiro o raio:
r=\frac{D}{2}=\frac{1,8}{2}=0,9\\ \mathrm{m}
Área da seção molhada (semicírculo):
A=\frac{\pi}{2}\,r^{2}
Substituindo r:
A=\frac{\pi}{2}\,(0,9)^{2}=\frac{\pi}{2}\cdot0,81
Calculemos numericamente (vou arredondar a 4 casas decimais nas contas intermediárias):
A\approx1,2741\\ \mathrm{m^{2}}
Wetted perimeter (perímetro molhado) para meia-seção: é metade da circunferência, pois a superfície livre (diâmetro) não é molhada:
P=\pi r=\pi\cdot0,9\approx2,8274\\ \mathrm{m}
Agora o raio hidráulico, que é fundamental na fórmula de Manning:
R=\frac{A}{P}=\frac{1,2741}{2,8274}\approx0,4506\\ \mathrm{m}
Explicação didática: o raio hidráulico R é a área da seção molhada por unidade de perímetro molhado; ele mede “quão eficiente” é a seção em conduzir água (área grande e perímetro molhado pequeno → R grande).

Passo 4

Apresentar a equação de Manning e explicar variáveis. A equação empírica de Manning para vazão em escoamento livre é:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}
onde:
  • Q é a vazão \mathrm{(m^{3}/s)},
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning \mathrm{(s\;m^{-1/3})},
  • A é a área da seção molhada \mathrm{(m^{2})},
  • R é o raio hidráulico \mathrm{(m)},
  • S é a declividade (adimensional).
    Observação: a fórmula dá Q em \mathrm{m^{3}/s} se as unidades acima forem respeitadas.

Passo 5

Calcular os termos que entram na equação:
Primeiro R^{2/3}:
R^{2/3}=(0,4506)^{2/3}\approx0,5888
Agora \sqrt{S}:
S^{1/2}=\sqrt{0,002}\approx0,044721
Explicação: estou transformando R com a potência 2/3 porque Manning foi ajustado com esse expoente; \sqrt{S} aparece porque a energia disponível por comprimento é proporcional à raiz da inclinação.

Passo 6

Calcular Q passo a passo usando Manning:
\frac{1}{n}=\frac{1}{0,013}\approx76,9231
Multiplico os fatores:
A\cdot R^{2/3}=1,2741\cdot0,5888\approx0,7502
(A\cdot R^{2/3})\cdot S^{1/2}=0,7502\cdot0,044721\approx0,033516
Finalmente:
Q=\frac{1}{n}\cdot0,033516\approx76,9231\cdot0,033516\approx2,5774\\ \mathrm{m^{3}/s}
Arredondando razoavelmente:
Q\approx2,58\\ \mathrm{m^{3}/s}
Comentário: esse é o valor da vazão que se estabelece em regime permanente uniforme com a meia seção molhada.

Passo 7

Calcular a velocidade média \bar{v}. A velocidade média é Q dividido pela área A:
\bar{v}=\frac{Q}{A}=\frac{2,5774}{1,2741}\approx2,023\\ \mathrm{m/s}
Arredondando:
\bar{v}\approx2,02\\ \mathrm{m/s}
Explicação prática: na prova, se pedirem velocidade média, sempre use a relação v=Q/A. Aqui a velocidade é forte (≈2 m/s), típica de bueiros com declividade moderada.

Passo 8

Verificar se a equação de Manning é aplicável — justificativa técnica. A equação de Manning é empírica e é válida quando:
  • o escoamento é em regime permanente e aproximadamente uniforme (o enunciado já diz “escoamento permanente uniforme” — ótimo);
  • o conduto é prismatico (seção constante ao longo do trecho considerado) — presumimos que o bueiro tem seção constante;
  • o escoamento é turbulento e controlado pela rugosidade da superfície (Manning foi ajustado para rugosidades reais e escoamentos turbulentos).
    Devemos então checar turbulência com o número de Reynolds. Para escoamento aberto costuma-se usar o diâmetro hidráulico D_h=4R para estimar:
D_{h}=4R=4\cdot0,4506\approx1,8024\\ \mathrm{m}
Usando a viscosidade cinemática da água \nu\approx1\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}, o número de Reynolds é
\mathrm{Re}=\frac{\bar{v}\,D_{h}}{\nu}=\frac{2,023\cdot1,8024}{1\times10^{-6}}\approx3,65\times10^{6}
Como \mathrm{Re}\gg5000, o escoamento é claramente turbulento. Conclusão: as condições (escoamento uniforme, prismaticidade e turbulência) são satisfeitas, logo a equação de Manning pode ser aplicada adequadamente neste caso. Observação final: Manning é empírica; para situações muito curtas, com fortes variações de área ou com efeitos de submersão/pressão, seria necessário cuidado — aqui, para um bueiro funcionando a meia seção em trecho com declividade constante, a aplicação é justificada.

Resposta

a) \bar{v}\approx2,02\\ \mathrm{m/s}.\n
b) Sim. A equação de Manning pode ser aplicada porque o escoamento é permanente e uniforme (dado), o conduto pode ser considerado prismático e o número de Reynolds estimado ( \mathrm{Re}\approx3,6\times10^{6}) indica escoamento turbulento, que é a condição de validade para o uso empírico de Manning.

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