[ 2,50 ] Um bueiro circular sob uma rodovia tem
de diâmetro e é feito de concreto com
. A declividade longitudinal apresenta um desnivel na vertical de
a cada 150 m de comprimento na horizontal. Calcule a vazão que se estabelece em escoamento permanente uniforme quando o bueiro funcionar a meia seção.
a) Determinar a velocidade média do escoamento.
b) A eq. de Manning pode ser aplicada para a condição de escoamento apresentada? Justificar.
a) Determinar a velocidade média do escoamento.
b) A eq. de Manning pode ser aplicada para a condição de escoamento apresentada? Justificar.
Passo 1
O enunciado dá um bueiro circular com as seguintes informações (vou listar tudo para a gente ficar alinhado):
A declividade longitudinal tem um desnível de
a cada
na horizontal. O bueiro funciona à meia seção (isto é, a seção molhada é uma semicircunferência). As perguntas são:
a) Determinar a velocidade média do escoamento.
b) A equação de Manning pode ser aplicada para essa condição? Justificar.
a) Determinar a velocidade média do escoamento.
b) A equação de Manning pode ser aplicada para essa condição? Justificar.
Passo 2
Calcular a declividade
. A declividade é a razão entre o desnível vertical e o comprimento horizontal:
Agora calculamos:
Explicação rápida:
é um número adimensional que representa a inclinação do conduto; aparece na equação de Manning como
.
Passo 3
Geometria da meia seção (semicírculo). Primeiro o raio:
Área da seção molhada (semicírculo):
Substituindo
:
Calculemos numericamente (vou arredondar a 4 casas decimais nas contas intermediárias):
Wetted perimeter (perímetro molhado) para meia-seção: é metade da circunferência, pois a superfície livre (diâmetro) não é molhada:
Agora o raio hidráulico, que é fundamental na fórmula de Manning:
Explicação didática: o raio hidráulico
é a área da seção molhada por unidade de perímetro molhado; ele mede “quão eficiente” é a seção em conduzir água (área grande e perímetro molhado pequeno →
grande).
Passo 4
Apresentar a equação de Manning e explicar variáveis. A equação empírica de Manning para vazão em escoamento livre é:
onde:
-
é a vazão , -
é o coeficiente de rugosidade de Manning , -
é a área da seção molhada , -
é o raio hidráulico , -
é a declividade (adimensional).
Observação: a fórmula dáem se as unidades acima forem respeitadas.
Passo 5
Calcular os termos que entram na equação:
Primeiro :
Primeiro
Agora
:
Explicação: estou transformando
com a potência
porque Manning foi ajustado com esse expoente;
aparece porque a energia disponível por comprimento é proporcional à raiz da inclinação.
Passo 6
Calcular
passo a passo usando Manning:
Multiplico os fatores:
Finalmente:
Arredondando razoavelmente:
Comentário: esse é o valor da vazão que se estabelece em regime permanente uniforme com a meia seção molhada.
Passo 7
Calcular a velocidade média
. A velocidade média é
dividido pela área
:
Arredondando:
Explicação prática: na prova, se pedirem velocidade média, sempre use a relação
. Aqui a velocidade é forte (≈2 m/s), típica de bueiros com declividade moderada.
Passo 8
Verificar se a equação de Manning é aplicável — justificativa técnica. A equação de Manning é empírica e é válida quando:
- o escoamento é em regime permanente e aproximadamente uniforme (o enunciado já diz “escoamento permanente uniforme” — ótimo);
- o conduto é prismatico (seção constante ao longo do trecho considerado) — presumimos que o bueiro tem seção constante;
- o escoamento é turbulento e controlado pela rugosidade da superfície (Manning foi ajustado para rugosidades reais e escoamentos turbulentos).
Devemos então checar turbulência com o número de Reynolds. Para escoamento aberto costuma-se usar o diâmetro hidráulicopara estimar:
Usando a viscosidade cinemática da água
, o número de Reynolds é
Como
, o escoamento é claramente turbulento. Conclusão: as condições (escoamento uniforme, prismaticidade e turbulência) são satisfeitas, logo a equação de Manning pode ser aplicada adequadamente neste caso. Observação final: Manning é empírica; para situações muito curtas, com fortes variações de área ou com efeitos de submersão/pressão, seria necessário cuidado — aqui, para um bueiro funcionando a meia seção em trecho com declividade constante, a aplicação é justificada.
Resposta
a)
.\n
b) Sim. A equação de Manning pode ser aplicada porque o escoamento é permanente e uniforme (dado), o conduto pode ser considerado prismático e o número de Reynolds estimado ( ) indica escoamento turbulento, que é a condição de validade para o uso empírico de Manning.
b) Sim. A equação de Manning pode ser aplicada porque o escoamento é permanente e uniforme (dado), o conduto pode ser considerado prismático e o número de Reynolds estimado (