Um escoamento de água entra no sentido se x , em um bocal convergente com \mathrm{R}_{1}=4 \mathrm{~cm}, com perfil de velocidades u_{1}(r) e sai com perfil u_{2}(r), após uma redução para R_{2}=3 \mathrm{~cm}. Determine U_{\text {máx } 2}á se U_{\text {máx } 1}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}á. Determine a força horizontal necessária para manter o redutor no lugar, se na entrada \mathrm{P}_{1}=120 \mathrm{kPa} e na saída do bocal P_{2}=100 \mathrm{kPa} (pressão atmosférica local).
\mathrm{u}_{1}(\mathrm{r})=\mathrm{U}_{\text {máx } 1}\left[1-\frac{\mathrm{r}^{3}}{\mathrm{R}_{1}^{3}}\right] \text { e } \quad \mathrm{u}_{2}(\mathrm{r})=\mathrm{U}_{\text {máx } 2}\left[1-\frac{\mathrm{r}^{3}}{\mathrm{R}_{2}^{3}}\right]áá

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar \mathrm{U}_{\text{máx }2}á sabendo que a vazão é conservada entre a entrada e a saída do bocal e que \mathrm{U}_{\text{máx }1}=2\\ \mathrm{m/s}á.
  2. Determinar a força horizontal necessária para manter o redutor no lugar, dado \mathrm{P}_1=120\\ \mathrm{kPa} e \mathrm{P}_2=100\\ \mathrm{kPa}.
Informações fornecidas (listas de dados):
R_1 = 4\\ \mathrm{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m},\qquad R_2=3\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m},
u_1(r)=U_{\text{máx }1}\Big(1-\frac{r^3}{R_1^3}\Big),\qquad u_2(r)=U_{\text{máx }2}\Big(1-\frac{r^3}{R_2^3}\Big),áá
U_{\text{máx }1}=2\\ \mathrm{m/s},\qquad P_1=120\\ \mathrm{kPa}=120000\\ \mathrm{Pa}, \qquad P_2=100\\ \mathrm{kPa}=100000\\ \mathrm{Pa}.á
Não há outras forças externas (gravidade desprezível para a direção horizontal). Vou usar conservação de massa (vazão) para obter \mathrm{U}_{\text{máx }2}á e o teorema do momento linear (balanceamento de quantidade de movimento) para obter a força necessária.

Passo 2

Conservação de massa (vazão volumétrica). Explicação rápida: em escoamento estacionário incompressível a vazão volumétrica Q é a mesma em qualquer seção transversal. A fórmula para vazão em coordenadas cilíndricas é
Q=\int_{A} u(r)\,dA = \int_{0}^{R} u(r)\,2\pi r\,dr,
onde dA=2\pi r\,dr é o anel de área à distância r do eixo.
Calculo de Q_1 usando u_1(r)=U_{\text{máx }1}\Big(1-\dfrac{r^3}{R_1^3}\Big)á:
Q_1 = 2\pi U_{\text{máx }1}\int_{0}^{R_1}\Big(1-\frac{r^3}{R_1^3}\Big) r\,dr.á
Integramos passo a passo:
\int_{0}^{R_1} r\,dr = \frac{R_1^2}{2},\qquad \int_{0}^{R_1} r^4\,dr = \frac{R_1^5}{5}.
Logo
Q_1 = 2\pi U_{\text{máx }1}\Big(\frac{R_1^2}{2} - \frac{R_1^5}{5R_1^3}\Big) =2\pi U_{\text{máx }1}R_1^2\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\Big).áá
\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{5-2}{10}=\frac{3}{10}\quad\Rightarrow\quad Q_1 = 2\pi U_{\text{máx }1}R_1^2\cdot\frac{3}{10}=\frac{3}{5}\pi U_{\text{máx }1}R_1^2.áá
Analogamente para a seção 2
Q_2=\frac{3}{5}\pi U_{\text{máx }2}R_2^2.á
Conservação da vazão Q_1=Q_2 implica
\frac{3}{5}\pi U_{\text{máx }1}R_1^2=\frac{3}{5}\pi U_{\text{máx }2}R_2^2 \quad\Rightarrow\quad U_{\text{máx }2}=U_{\text{máx }1}\frac{R_1^2}{R_2^2}.áááá
Substituindo valores numéricos:
\frac{R_1^2}{R_2^2}=\left(\frac{0{,}04}{0{,}03}\right)^2=\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}\approx1{,}7777778,
U_{\text{máx }2}=2\cdot\frac{16}{9}=\frac{32}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx3{,}5556\\ \mathrm{m/s}.á

Passo 3

Cálculo da força horizontal necessária (teorema do momento linear). Explicação do método: para um volume de controle que contém o fluido dentro do bocal, o balanço de quantidade de movimento na direção x (sentido do escoamento) em regime estacionário é
\sum F_x^{\text{ext}} = \dot{m} \overline{V_x}_{\text{out}} - \dot{m} \overline{V_x}_{\text{in}},
onde as forças externas na direção x são as forças de pressão nas seções e a força de reação dos suportes sobre o bocal (que chamaremos R_x). As contribuições de pressão nas seções são +P_1A_1 (empurra na direção do fluxo) e -P_2A_2 (empurra contra o fluxo). Assim:
P_1A_1 - P_2A_2 + R_x = \int_{A_2}\rho u_2^2\,dA - \int_{A_1}\rho u_1^2\,dA.
Explicação: para perfis não uniformes o termo de quantidade de movimento é \int \rho u^2 dA, que já representa a taxa de saída/entrada de momento.
Logo
R_x = \int_{A_2}\rho u_2^2\,dA - \int_{A_1}\rho u_1^2\,dA \;-\; \big(P_1A_1 - P_2A_2\big).
Agora calculamos as integrais de \rho u^2. Primeiro, geral:
\int_{A}\rho u^2\,dA = 2\pi\rho U_{\text{máx}}^{2}\int_{0}^{R}\Big(1-\frac{r^3}{R^3}\Big)^{2} r\,dr.á
Expandindo \big(1-\dfrac{r^3}{R^3}\big)^2 = 1 - 2\frac{r^3}{R^3} + \frac{r^6}{R^6}. Assim
\int_{0}^{R}\Big(1 - 2\frac{r^3}{R^3} + \frac{r^6}{R^6}\Big) r\,dr = \int_{0}^{R} r\,dr - \frac{2}{R^3}\int_{0}^{R} r^{4}\,dr + \frac{1}{R^6}\int_{0}^{R} r^{7}\,dr.
Calcule as integrais:
\int_{0}^{R} r\,dr=\frac{R^2}{2},\qquad \int_{0}^{R} r^{4}\,dr=\frac{R^5}{5},\qquad \int_{0}^{R} r^{7}\,dr=\frac{R^8}{8}.
Substituindo:
\text{bracket}= \frac{R^2}{2} - \frac{2}{R^3}\cdot\frac{R^5}{5} + \frac{1}{R^6}\cdot\frac{R^8}{8} =R^2\Big(\frac{1}{2}-\frac{2}{5}+\frac{1}{8}\Big).
Compute the fraction:
\frac{1}{2}-\frac{2}{5}+\frac{1}{8}=\frac{20-16+5}{40}=\frac{9}{40}.
Therefore
\int_{A}\rho u^2\,dA = 2\pi\rho U_{\text{máx}}^{2} R^2\cdot\frac{9}{40} = \rho U_{\text{máx}}^{2} R^2\cdot\frac{9\pi}{20}.áá
Aplicando para as duas seções:
\int_{A_1}\rho u_1^2\,dA = \rho U_{\text{máx }1}^{2} R_1^2\cdot\frac{9\pi}{20},\qquad \int_{A_2}\rho u_2^2\,dA = \rho U_{\text{máx }2}^{2} R_2^2\cdot\frac{9\pi}{20}.áá
Substituímos na expressão de R_x:
R_x = \rho\frac{9\pi}{20}\big(U_{\text{máx }2}^{2}R_2^{2}-U_{\text{máx }1}^{2}R_1^{2}\big) - \big(P_1A_1-P_2A_2\big),áá
com A_i=\pi R_i^2.
Agora valores numéricos. Usarei \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
Primeiro calculei U_{\text{máx }2}=\dfrac{32}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx3{,}5556\\ \mathrm{m/s}á.
Cálculos intermediários:
R_1^2=(0{,}04)^2=0{,}0016,\qquad R_2^2=(0{,}03)^2=0{,}0009.
U_{\text{máx }1}^{2}R_1^{2}=2^2\cdot0{,}0016=4\cdot0{,}0016=0{,}0064,á
U_{\text{máx }2}^{2}R_2^{2}=\Big(\frac{32}{9}\Big)^{2}\cdot0{,}0009 =\frac{1024}{81}\cdot0{,}0009\approx12{,}6419753\cdot0{,}0009=0{,}0113777778.á
Diferença:
U_{\text{máx }2}^{2}R_2^{2}-U_{\text{máx }1}^{2}R_1^{2}\approx0{,}0113777778-0{,}0064=0{,}0049777778.áá
Constante multiplicativa:
\rho\frac{9\pi}{20}\approx1000\cdot1{,}41371669\approx1413{,}71669.
Produto (fluxo de momento):
\rho\frac{9\pi}{20}\big(\cdots\big)\approx1413{,}71669\cdot0{,}0049777778\approx7{,}0372\\ \mathrm{N}.
Agora os termos de pressão:
A_1=\pi R_1^2=\pi\cdot0{,}0016\approx0{,}005026548\\ \mathrm{m^2}, \quad A_2=\pi R_2^2=\pi\cdot0{,}0009\approx0{,}0028274334\\ \mathrm{m^2}.
P_1A_1=120000\cdot0{,}005026548\approx603{,}1858\\ \mathrm{N},\qquad P_2A_2=100000\cdot0{,}0028274334\approx282{,}7433\\ \mathrm{N}.
P_1A_1-P_2A_2\approx603{,}1858-282{,}7433=320{,}4425\\ \mathrm{N}.
Finalmente:
R_x \approx 7{,}0372 - 320{,}4425 \approx -313{,}4053\\ \mathrm{N}.
Interpretação do sinal: R_x é a força horizontal exercida sobre o volume de fluido pelos suportes (positivo no sentido do escoamento). Um valor negativo indica que os suportes devem aplicar uma força no sentido contrário ao escoamento (isto é, para a esquerda) sobre o fluido; equivalente: para manter o redutor no lugar, a estrutura deve aplicar uma força de mesma magnitude, mas oposta, sobre o redutor. Portanto a força necessária sobre o redutor é de aproximadamente 313{,}4\\ \mathrm{N} dirigida para a esquerda (contra o sentido do escoamento).

Resposta

\displaystyle U_{\text{máx }2}\approx 3{,}556\\ \mathrm{m/s}á
\displaystyle F_{\text{suporte}} \approx 313{,}4\\ \mathrm{N} (direção: para a esquerda, isto é, contrária ao sentido do escoamento)

Exercícios relacionados