Um trecho retilíneo de tubo de aço inox (\varepsilon=0,003 \mathrm{~mm}) tem comprimento de 45 m e diâmetro interno de 40 mm . Por ele escoam 4 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de água a 20^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a perda de carga nesse trecho [\mathrm{Pa}] e a potência dissipada em razão da perda de carga [\mathrm{W}].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) a perda de carga no trecho retilíneo de tubo em unidades de Pascal e (2) a potência dissipada devido a essa perda de carga em Watts. \n
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente): \n
  • comprimento do tubo: L=45\\ \mathrm{m} \n
  • diâmetro interno: D=40\\ \mathrm{mm}=0,04\\ \mathrm{m} \n
  • rugosidade absoluta do aço inox: \varepsilon=0,003\\ \mathrm{mm}=3{,}0\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m} \n
  • vazão volumétrica de água: Q=4\\ \mathrm{L/s}=0,004\\ \mathrm{m^{3}/s} \n
  • temperatura da água: 20^\circ\mathrm{C} (usarei propriedades padrão da água a 20^\circ\mathrm{C}: densidade \rho=998\\ \mathrm{kg/m^{3}} e viscosidade dinâmica \mu=1{,}002\cdot10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}). \n
    Objetivos numéricos: calcular \Delta p (Pa) e P (W).

Passo 2

Calcular a área da seção transversal e a velocidade média do escoamento. \n
A área da seção circular vale A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0,04\\ \mathrm{m}: A=\frac{\pi(0,04)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}0004\approx0{,}001256637\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade média: V=\frac{Q}{A}=\frac{0,004}{0{,}001256637}\approx3{,}1831\\ \mathrm{m/s}.
Expliquei: A é a área por onde a água passa; dividir a vazão Q por A dá a velocidade média V.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e interpretar o regime do escoamento. \n
O número de Reynolds é \mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é a densidade do fluido, V a velocidade média, D o diâmetro e \mu a viscosidade dinâmica. Substituindo: \mathrm{Re}=\frac{998\cdot3{,}1831\cdot0{,}04}{1{,}002\cdot10^{-3}}\approx1{,}27\cdot10^{5}.
Interpretação rápida: \mathrm{Re} é bem maior que 4000, logo o escoamento é turbulento. Isso é importante porque a resistência (fator de atrito) depende da rugosidade relativa e de \mathrm{Re}.

Passo 4

Calcular a rugosidade relativa \varepsilon/D. \n
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{3{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}04}=7{,}5\cdot10^{-5}.
Comentário: esse valor é pequeno (tubo relativamente liso), mas em escoamento turbulento a rugosidade ainda influencia o fator de atrito.

Passo 5

Apresentar a fórmula usada para perda de carga (Darcy–Weisbach) e explicar cada termo. \n
A perda de carga (diferença de pressão) ao longo de um tubo retilíneo é dada por \Delta p=f\;\frac{L}{D}\;\frac{\rho V^{2}}{2},
onde \Delta p é a perda de carga em Pa, f é o fator de atrito adimensional (Darcy), L/D é a razão comprimento/diâmetro e \rho V^{2}/2 é a pressão dinâmica do fluido. Nosso trabalho agora é obter f para o escoamento turbulento com a rugosidade dada.

Passo 6

Escolher e aplicar uma fórmula prática para o fator de atrito f. \n
A equação de Colebrook é implícita em f e exige iteração. Para economia de contas (útil na prova) vamos usar a aproximação explícita de Swamee–Jain, que é precisa para escoamentos turbulentos e fácil de calcular: f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Agora os substitutos numéricos: \frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\dfrac{3{,}0\cdot10^{-6}}{3{,}7\cdot0{,}04}\approx2{,}03\cdot10^{-5}. \mathrm{Re}^{0{,}9}\approx(1{,}27\cdot10^{5})^{0{,}9}\approx3{,}93\cdot10^{4}, então \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx1{,}46\cdot10^{-4}. Soma dentro do log: \approx1{,}66\cdot10^{-4}. \n
Logo \log_{10}(1{,}66\cdot10^{-4})\approx-3{,}778,
e então f\approx\frac{0{,}25}{(-3{,}778)^{2}}\approx0{,}0175.
Breve comentário: esse f condiz com fórmulas empíricas (por ex. Blasius) e é consistente para tubos lisos com \mathrm{Re} na faixa observada.

Passo 7

Calcular numericamente a perda de carga \Delta p usando os valores encontrados. \n
Primeiro calcule a pressão dinâmica: \frac{\rho V^{2}}{2}=\frac{998\cdot(3{,}1831)^{2}}{2}\approx5{,}056\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
A razão L/D é \frac{L}{D}=\frac{45}{0{,}04}=1125.
Então \Delta p=f\frac{L}{D}\frac{\rho V^{2}}{2}\approx0{,}0175\cdot1125\cdot5{,}056\cdot10^{3}\approx9{,}97\cdot10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação: a perda de carga total no trecho de 45\\ \mathrm{m} é cerca de 9{,}97\cdot10^{4}\\ \mathrm{Pa} (aprox. 0{,}997\\ \mathrm{bar}).

Passo 8

Calcular a potência dissipada pela perda de carga. \n
A potência dissipada pelo atrito (potência que deve ser fornecida para vencer a perda de carga) é P=\Delta p\cdot Q.
Substituindo \Delta p\approx9{,}97\cdot10^{4}\\ \mathrm{Pa} e Q=0{,}004\\ \mathrm{m^{3}/s}: P\approx9{,}97\cdot10^{4}\cdot0{,}004\approx3{,}99\cdot10^{2}\\ \mathrm{W}.
Comentário final curto: cerca de 399\\ \mathrm{W} são dissipada em atrito ao longo do trecho — é a potência que a bomba precisaria vencer somente por essa perda (sem contar outras perdas).

Resposta

\Delta p\approx9{,}97\cdot10^{4}\\ \mathrm{Pa}\n
P\approx3{,}99\cdot10^{2}\\ \mathrm{W}

Exercícios relacionados