Ar a 50^{\circ} \mathrm{C} escoa através de um tubo a uma vazão de 120 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. O tubo consiste em duas secções com diâmetros de 15 e 8 cm com uma secção de redução suave que as conecta. A diferença de pressão entre as secções do tubo é medida por um manômetro de água. Desprezando os efeitos viscosos, determine a altura no interior do manômetro.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar tudo explicitamente):
  • Temperatura do ar: 50^\circ\mathrm{C}.
  • Vazão volumétrica: 120\\ \mathrm{L/s}.
  • O tubo tem duas secções circulares com diâmetros: D_1=15\\ \mathrm{cm} e D_2=8\\ \mathrm{cm}.
  • As duas secções são ligadas por uma redução suave.
  • A diferença de pressão entre as secções é medida por um manômetro de água.
  • Desprezar efeitos viscosos (logo usaremos Bernoulli entre as secções).
    O que o problema pede:
  • Determinar a altura h da coluna de água no manômetro correspondente à diferença de pressão entre as duas secções.

Passo 2

Transformar unidades e escrever quantidades básicas; continuidade (conservação da vazão) para obter as velocidades nas secções.
  • Vazão em unidades SI:
Q = 120\\ \mathrm{L/s} = 0{,}120\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Áreas das secções (círculo): \displaystyle A=\frac{\pi D^2}{4}.
A_1=\frac{\pi D_1^2}{4}=\frac{\pi (0{,}15)^2}{4}=\pi\cdot0{,}005625\\ \mathrm{m^2}\approx0{,}01767\\ \mathrm{m^2}.
A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}=\frac{\pi (0{,}08)^2}{4}=\pi\cdot0{,}0016\\ \mathrm{m^2}\approx0{,}005027\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidades pela continuidade Q=A_1 v_1 = A_2 v_2, logo v_i=Q/A_i.
v_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{0{,}120}{0{,}01767}\\ \mathrm{m/s}\approx6{,}79\\ \mathrm{m/s}.
v_2=\frac{Q}{A_2}=\frac{0{,}120}{0{,}005027}\\ \mathrm{m/s}\approx23{,}88\\ \mathrm{m/s}.
(Explanação curta: continuidade diz que a mesma vazão volumétrica atravessa as duas secções; como a área diminui, a velocidade aumenta na secção menor.)

Passo 3

Usar Bernoulli entre as duas secções (mesma elevação, escoamento não viscoso, regime estacionário):
p_1+\tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}} v_1^2 = p_2+\tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}} v_2^2.
Isolando a diferença de pressão:
p_1-p_2=\tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}}\bigl(v_2^2-v_1^2\bigr).
(Aqui \rho_{\text{ar}} é a massa específica do ar. Esta equação diz que a queda de pressão está ligada ao aumento da energia cinética por unidade de volume.)

Passo 4

Relação manométrica entre diferença de pressão e altura h do fluido do manômetro (água).
Para um manômetro em U com líquido de densidade \rho_w ligando os pontos 1 e 2 e desprezando a massa do gás nas colunas,
p_1-p_2=\rho_w g h.
(Explicação curta: a diferença de pressão entre os dois pontos do gás se equilibra pela diferença hidrostática na coluna de água.)

Passo 5

Combinar as duas expressões para obter h:
\rho_w g h = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}}\bigl(v_2^2-v_1^2\bigr) \quad\Rightarrow\quad h=\frac{\rho_{\text{ar}}}{2\rho_w g}\bigl(v_2^2-v_1^2\bigr).
Agora precisamos de \rho_{\text{ar}} (massa específica do ar) a 50^\circ\mathrm{C}. Usamos a lei dos gases ideais assumindo pressão atmosférica \,p_0=101325\\ \mathrm{Pa} (valor padrão):
\rho_{\text{ar}}=\frac{p_0}{R_{\text{ar}}T},
onde R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e T=50^\circ\mathrm{C}=323{,}15\\ \mathrm{K}.
\rho_{\text{ar}}=\frac{101325}{287\cdot323{,}15}\\ \mathrm{kg/m^3}\approx1{,}093\\ \mathrm{kg/m^3}.
(Comentário: o ar é bem compressível em princípio, mas para pressões próximas da atmosférica e velocidades aqui, usar a densidade do ar calculada é apropriado.)

Passo 6

Substituir valores numéricos em h. Usar \rho_w=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Primeiro calcular v_2^2-v_1^2:
v_2^2\approx(23{,}88)^2\approx570{,}25\\ \mathrm{m^2/s^2}, \qquad v_1^2\approx(6{,}79)^2\approx46{,}13\\ \mathrm{m^2/s^2},
v_2^2-v_1^2\approx524{,}12\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Agora:
h=\frac{1{,}093}{2\cdot1000\cdot9{,}81}\cdot524{,}12\\ \mathrm{m}.
Calcular passo a passo:
\tfrac{1{,}093}{2}=0{,}5465,\qquad 1000\cdot9{,}81=9810,
h=\frac{0{,}5465\cdot524{,}12}{9810}\\ \mathrm{m}\approx\frac{286{,}43}{9810}\\ \mathrm{m}\approx0{,}0292\\ \mathrm{m}.
Converter para centímetros:
h\approx0{,}0292\\ \mathrm{m}=2{,}92\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Resumo das aproximações feitas (importante para a prova e para julgamentos de validade):
  • Escoamento tratado como não viscoso (Bernoulli aplicado sem perdas).
  • Assumiu-se que as duas tomadas do manômetro estão à mesma elevação (tubo essencialmente horizontal ou manômetro ajustado para medir diferença de pressão estática).
  • Desprezou-se a contribuição da densidade do ar na coluna do manômetro (válido porque \rho_{\text{ar}}\ll\rho_w).
  • Usou-se pressão atmosférica padrão para calcular \rho_{\text{ar}}; pequenas variações na pressão ambiente pouco afetam o resultado final.
Força final de ânimo: deu trabalho, mas o caminho é sempre o mesmo em provas: continuidade para velocidades, Bernoulli para diferença de pressão, e equilíbrio hidrostatico no manômetro. Você já pode aplicar isso a muitos problemas parecidos — bora praticar mais dois depois se quiser!

Resposta

h\approx0{,}0292\\ \mathrm{m}=2{,}92\\ \mathrm{cm}

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