Ar a
escoa através de um tubo a uma vazão de
. O tubo consiste em duas secções com diâmetros de 15 e 8 cm com uma secção de redução suave que as conecta. A diferença de pressão entre as secções do tubo é medida por um manômetro de água. Desprezando os efeitos viscosos, determine a altura no interior do manômetro.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar tudo explicitamente):
- Temperatura do ar:
. - Vazão volumétrica:
. - O tubo tem duas secções circulares com diâmetros:
e . - As duas secções são ligadas por uma redução suave.
- A diferença de pressão entre as secções é medida por um manômetro de água.
- Desprezar efeitos viscosos (logo usaremos Bernoulli entre as secções).
O que o problema pede: - Determinar a altura
da coluna de água no manômetro correspondente à diferença de pressão entre as duas secções.
Passo 2
Transformar unidades e escrever quantidades básicas; continuidade (conservação da vazão) para obter as velocidades nas secções.
- Vazão em unidades SI:
- Áreas das secções (círculo):
.
- Velocidades pela continuidade
, logo .
(Explanação curta: continuidade diz que a mesma vazão volumétrica atravessa as duas secções; como a área diminui, a velocidade aumenta na secção menor.)
Passo 3
Usar Bernoulli entre as duas secções (mesma elevação, escoamento não viscoso, regime estacionário):
Isolando a diferença de pressão:
(Aqui
é a massa específica do ar. Esta equação diz que a queda de pressão está ligada ao aumento da energia cinética por unidade de volume.)
Passo 4
Relação manométrica entre diferença de pressão e altura
do fluido do manômetro (água).
Para um manômetro em U com líquido de densidade ligando os pontos 1 e 2 e desprezando a massa do gás nas colunas,
Para um manômetro em U com líquido de densidade
(Explicação curta: a diferença de pressão entre os dois pontos do gás se equilibra pela diferença hidrostática na coluna de água.)
Passo 5
Combinar as duas expressões para obter
:
Agora precisamos de
(massa específica do ar) a
. Usamos a lei dos gases ideais assumindo pressão atmosférica
(valor padrão):
onde
e
.
(Comentário: o ar é bem compressível em princípio, mas para pressões próximas da atmosférica e velocidades aqui, usar a densidade do ar calculada é apropriado.)
Passo 6
Substituir valores numéricos em
. Usar
e
.
Primeiro calcular :
Primeiro calcular
Agora:
Calcular passo a passo:
Converter para centímetros:
Passo 7
Resumo das aproximações feitas (importante para a prova e para julgamentos de validade):
- Escoamento tratado como não viscoso (Bernoulli aplicado sem perdas).
- Assumiu-se que as duas tomadas do manômetro estão à mesma elevação (tubo essencialmente horizontal ou manômetro ajustado para medir diferença de pressão estática).
- Desprezou-se a contribuição da densidade do ar na coluna do manômetro (válido porque
). - Usou-se pressão atmosférica padrão para calcular
; pequenas variações na pressão ambiente pouco afetam o resultado final.
Força final de ânimo: deu trabalho, mas o caminho é sempre o mesmo em provas: continuidade para velocidades, Bernoulli para diferença de pressão, e equilíbrio hidrostatico no manômetro. Você já pode aplicar isso a muitos problemas parecidos — bora praticar mais dois depois se quiser!