Simplifique os termos que multiplicam a_{n}.
Mostre que
-n(n-1)-2 n=-n^{2}-n .

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão que multiplica a_{n}. A expressão dada é:
-n(n-1)-2n.
O objetivo é mostrar que essa expressão é igual a
-n^{2}-n.

Passo 2

Primeiro usamos a propriedade distributiva da multiplicação sobre a subtração, que diz que x(y-z)=xy-xz. Aplicando com x=n e y= n,\; z=1 obtemos:
n(n-1)=n\cdot n - n\cdot 1 = n^{2}-n.

Passo 3

Agora observe o termo -n(n-1). Esse é o negativo do resultado anterior, então:
-n(n-1) = -\bigl(n^{2}-n\bigr).
Ao distribuir o sinal negativo dentro dos parênteses, fica:
-n(n-1) = -n^{2} + n.
(Explicando: multiplicar por -1 troca os sinais de cada termo.)

Passo 4

Substituímos esse resultado na expressão original -n(n-1)-2n. Assim:
-n(n-1)-2n = \bigl(-n^{2}+n\bigr)-2n.

Passo 5

Agora combinamos termos semelhantes. Os termos que têm a mesma potência de n são +n e -2n; somando-os dá:
n-2n = -n.
Portanto:
\bigl(-n^{2}+n\bigr)-2n = -n^{2}-n.

Passo 6

Como verificação rápida, podemos testar com um valor concreto, por exemplo n=3:
\text{LHS}=-3(3-1)-2\cdot3=-3\cdot2-6=-6-6=-12,
\text{RHS}=-3^{2}-3=-9-3=-12.
Os dois lados concordam, o que confirma a simplificação.

Passo 7

Opcionalmente, podemos fatorar o resultado final tirando fator comum -n:
-n^{2}-n = -n(n+1),
o que é uma forma útil para alguns usos, mas a igualdade pedida já está mostrada.

Resposta

-n^{2}-n

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