(2,5 pontos) Sabendo que A é um anel, verifique se é domínio de integridadé, onde
A=\{x+y \sqrt{3}: x, y \in \mathbb{Q}\} .
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
A=\{x+y\sqrt{3}: x,y\in\mathbb{Q}\}
e pede para verificar se A é domínio de integridade. Ou seja, preciso decidir se A é um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Aqui apenas estou reescrevendo o que foi pedido e listando a informação fornecida: a forma geral dos elementos de A.
Passo 2
Primeiro vou mostrar que A é fechado para as operações usuais (adição e multiplicação) e contém os elementos neutros, isto é, que realmente é um subanel de \mathbb{R}.
Sejam a=x_1+y_1\sqrt{3} e b=x_2+y_2\sqrt{3} com x_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb{Q}. Então a soma é
a+b=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\sqrt{3},
onde x_1+x_2\in\mathbb{Q} e y_1+y_2\in\mathbb{Q}. Logo a+b\in A. O inverso aditivo de a é
-a=(-x_1)+(-y_1)\sqrt{3},
com -x_1,-y_1\in\mathbb{Q}, então -a\in A. Portanto A é fechado sob adição e contém inversos aditivos.
e como x_1x_2+3y_1y_2\in\mathbb{Q} e x_1y_2+x_2y_1\in\mathbb{Q}, segue que a\cdot b\in A. O elemento 1 do anel (neutro multiplicativo) é 1+0\sqrt{3}\in A, e o elemento 0 é 0+0\sqrt{3}\in A.
Assim A é um anel comutativo (a comutatividade vem da comutatividade em \mathbb{R}) com unidade 1.
Passo 3
Para decidir se A é domínio de integridade preciso verificar se não existem divisores de zero não nulos em A. Uma forma direta e elegante de fazer isso é mostrar que todo elemento não nulo de A tem inverso multiplicativo em A; isto implica que A é um corpo (campo) e, consequentemente, um domínio de integridade.
Então considero um elemento genérico não nulo
\alpha=x+y\sqrt{3}\in A,\qquad\text{com }x,y\in\mathbb{Q}\text{ e }(x,y)\neq(0,0).
Passo 4
Vou procurar o inverso de \alpha usando a conjugação (a técnica clássica para números do tipo x+y\sqrt{d}). Calculo a “conjugada”
\overline{\alpha}=x-y\sqrt{3}.
Multiplicando \alpha por \overline{\alpha} obtenho
vemos que os coeficientes são racionais, então \alpha^{-1}\in A.
Passo 5
Falta justificar que realmente x^2-3y^2\neq 0 sempre que \alpha\neq 0. Suponha, por absurdo, que x^2-3y^2=0 com (x,y)\neq(0,0). Se y=0 então x^2=0 e assim x=0, contradizendo (x,y)\neq(0,0). Logo y\neq 0 e podemos escrever \dfrac{x}{y}\in\mathbb{Q} e então
\left(\frac{x}{y}\right)^2=3.
Isto diz que existe um racional cujo quadrado é 3. Mas é um fato clássico (prova por redução ao absurdo: escrever \dfrac{x}{y} em termos de numerador e denominador primos e verificar divisibilidade por 3) que \sqrt{3}\notin\mathbb{Q}. Assim não existe racional com quadrado igual a 3. Isso contradiz a suposição. Portanto não pode acontecer x^2-3y^2=0 quando (x,y)\neq(0,0). Concluímos que para todo \alpha\neq 0 o denominador x^2-3y^2 é não nulo, e assim \alpha tem inverso em A.
Passo 6
Já mostramos que todo elemento não nulo de A tem inverso em A. Então A é um corpo (um campo). Como todo corpo é, em particular, um anel comutativo sem divisores de zero, segue que A é domínio de integridade.
Um exemplo rápido para fixar a intuição: pegue \alpha=2+\sqrt{3}. Aqui x=2,y=1 e x^2-3y^2=4-3=1, logo \alpha^{-1}=2-\sqrt{3}, e de fato (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1.
Resposta
Sim. A é domínio de integridade; na verdade A é um corpo: para \alpha=x+y\sqrt{3}\neq0 tem-se \alpha^{-1}=\dfrac{x-y\sqrt{3}}{x^2-3y^2}\in A.