9.50 Para as condições de escoamento do Problema 9.49, desenvolva uma expressão algébrica para a variação da tensão de cisalhamento na parede com a distância ao longo da superfície. Integre para obter uma expressão algébrica para o arrasto total de atrito superficial. Avalie o arrasto para as condições dadas.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. desenvolver uma expressão algébrica para a variação da tensão de cisalhamento na parede com a distância ao longo da superfície;
  2. integrar essa expressão para obter uma expressão algébrica para o arrasto total de atrito superficial;
  3. avaliar numericamente o arrasto para as condições do Problema 9.49.
Informações relevantes (do enunciado que recebi):
  • O enunciado refere-se às “condições de escoamento do Problema 9.49”, mas esses dados numéricos (velocidade do escoamento, propriedades do fluido, comprimento da placa, etc.) não foram fornecidos aqui. Por isso não é possível calcular um valor numérico final sem esses dados.
  • Para desenvolver as expressões algébricas normalmente são necessárias as quantidades: velocidade uniforme do escoamento livre \,U_\infty, densidade do fluido \,\rho, viscosidade cinemática \,\nu (ou viscosidade dinâmica \,\mu), e o comprimento da placa \,L. Se o arrasto total pedido for por unidade de largura (espalhamento infinito em z), será útil indicar que o resultado será por unidade de envergadura (arrasto por unidade de comprimento na direção z).
Observação: vou derivar as expressões para o caso clássico mais provável aqui — escoamento laminar sobre uma placa plana sem pressão externa (solução de Blasius) — porque é o contexto padrão desses exercícios. Como não há os números do Problema 9.49, entrego as expressões finais em função das variáveis citadas e explico exatamente como avaliar numericamente quando os dados forem conhecidos.

Passo 2

Por que usar a solução de Blasius (escoamento laminar sobre placa plana)?
  • Esse problema padrão pede variação da tensão de cisalhamento na parede com a distância x ao longo de uma superfície plana. A situação clássica e didática é o escoamento laminar, sem gradiente de pressão na direção tangencial, sobre uma placa plana infinita (ou comprimento L conhecido).
  • A solução de Blasius fornece a distribuição de velocidade na camada limite laminar e, a partir dela, a tensão de cisalhamento na parede e o coeficiente de atrito local. Se o escoamento for turbulento, a expressão e constantes seriam diferentes (por exemplo c_f local turbulento aproximadamente 0{,}0592\,Re_x^{-1/5}), então escolher a hipótese laminar é natural para esse tipo de exercício acadêmico a menos que o Problema 9.49 diga o contrário.
    Portanto adoto aqui a hipótese: escoamento laminar sobre placa plana com velocidade livre \,U_\infty e viscosidade cinemática \,\nu.

Passo 3

Definições e conceitos que vamos usar (aula rápida e prática):
  • O número de Reynolds local é a grandeza que mede razão entre inércia e viscosidade ao longo da placa:
Re_x=\frac{U_\infty x}{\nu},
onde \,x é a distância desde a borda dianteira da placa.
  • O coeficiente de atrito de parede local \,c_f(x) é definido a partir da tensão de cisalhamento na parede \,\tau_w(x) por
c_f(x)=\frac{2\,\tau_w(x)}{\rho\,U_\infty^2}.
Explicando: \tau_w tem unidades de pressão (força/área). Dividindo por \tfrac{1}{2}\rho U_\infty^2 (referência dinâmica de pressão) obtemos uma grandeza adimensional c_f; o fator 2 aparece porque alguns autores definem c_f como 2\tau_w/(\rho U^2) (equivalente a \tau_w/( \frac12\rho U^2)).
  • A solução de Blasius dá, para o escoamento laminar sobre placa plana, o coeficiente de atrito local (resultante da solução autossimilar):
c_f(x)=\frac{0{,}664}{\sqrt{Re_x}}.
Essa constante 0{,}664 é obtida a partir das funções de Blasius (é um valor tabulado/derivado da solução numérica autossimilar).
A partir dessas definições obtemos imediatamente a tensão de cisalhamento local \tau_w(x). Substitui-se c_f na definição:
\tau_w(x)=\frac{1}{2}\,\rho\,U_\infty^2\,c_f(x).

Passo 4

Cálculo explícito da tensão de cisalhamento na parede como função de x:
  • Substituindo c_f(x)=0{,}664/\sqrt{Re_x} e Re_x=U_\infty x/\nu na expressão de \tau_w,
\tau_w(x)=\frac{1}{2}\rho U_\infty^2\cdot\frac{0{,}664}{\sqrt{Re_x}} =\frac{1}{2}\rho U_\infty^2\cdot\frac{0{,}664}{\sqrt{\dfrac{U_\infty x}{\nu}}}.
  • Simplificando a raiz,
\tau_w(x)=\frac{1}{2}\rho U_\infty^2\cdot 0{,}664\cdot\frac{\sqrt{\nu}}{\sqrt{U_\infty x}}.
  • Reunindo potências de U_\infty,
\tau_w(x)=0{,}332\,\rho\,U_\infty^{3/2}\,\nu^{1/2}\,x^{-1/2}.
Esta é a expressão algébrica pedida para a variação da tensão de cisalhamento na parede com a distância x ao longo da superfície (para escoamento laminar tipo Blasius). Interpretação rápida: \tau_w decresce como x^{-1/2} à medida que avançamos ao longo da placa.

Passo 5

Obtenção do arrasto total de atrito superficial (por unidade de envergadura, isto é, por unidade de largura z):
  • Definir arrasto por unidade de envergadura (força por unidade de comprimento na direção z) como
D'=\int_{0}^{L}\tau_w(x)\,dx,
onde L é o comprimento da placa na direção x. (Observação: a integral começa em zero; na prática a tensão é singular como x\to0 com esse modelo idealizado, mas a integral é integrável e dá resultado finito.)
  • Substituir \tau_w(x)=0{,}332\,\rho\,U_\infty^{3/2}\,\nu^{1/2}\,x^{-1/2}:
D'=0{,}332\,\rho\,U_\infty^{3/2}\,\nu^{1/2}\int_{0}^{L}x^{-1/2}\,dx.
  • Integrar \int_{0}^{L}x^{-1/2}\,dx = 2L^{1/2}. Então
D'=0{,}332\,\rho\,U_\infty^{3/2}\,\nu^{1/2}\cdot 2L^{1/2}=0{,}664\,\rho\,U_\infty^{3/2}\,\nu^{1/2}\,L^{1/2}.
Esta é a expressão algébrica para o arrasto de atrito superficial sobre a placa por unidade de envergadura (força por metro, se SI).

Passo 6

Formas alternativas e coeficiente médio de atrito (úteis na prova):
  • Expressar o resultado em função do número de Reynolds baseado em L, \,Re_L=U_\infty L/\nu: note que \sqrt{Re_L}=\dfrac{U_\infty^{1/2}L^{1/2}}{\nu^{1/2}}. Reescrevendo D':
D' = 0{,}664\,\rho\,U_\infty^{3/2}\,\nu^{1/2}\,L^{1/2} =0{,}664\,\rho\,U_\infty^2\,\frac{L}{\sqrt{Re_L}}.
  • O coeficiente médio de atrito sobre a placa (média ao longo de 0 a L) é
\overline{c_f}=\frac{1}{L}\int_0^L c_f(x)\,dx=\frac{1}{L}\int_0^L\frac{0{,}664}{\sqrt{Re_x}}\,dx =\frac{1{,}328}{\sqrt{Re_L}}.
Então, de forma consistente,
D'=\frac{1}{2}\,\rho\,U_\infty^2\,\overline{c_f}\,L =\frac{1}{2}\rho U_\infty^2\cdot\frac{1{,}328}{\sqrt{Re_L}}\,L =0{,}664\,\rho\,U_\infty^2\,\frac{L}{\sqrt{Re_L}},
igual ao resultado anterior.

Passo 7

Como avaliar numericamente (passo-a-passo quando os dados existirem)
  • Para avaliar numericamente o arrasto, precisa-se de: \,U_\infty, \,\rho, \,\nu (ou \mu), e \,L. Se o arrasto total da placa (não por unidade de envergadura) for pedido para uma placa de largura b, multiplica-se:
D = D'\,b.
  • Procedimento prático:
    1. calcule \sqrt{Re_L}=\sqrt{\dfrac{U_\infty L}{\nu}};
    2. calcule \,D'=0{,}664\,\rho\,U_\infty^{3/2}\,\nu^{1/2}\,L^{1/2} diretamente ou use D'=0{,}664\,\rho\,U_\infty^2 L/\sqrt{Re_L};
    3. se quiser o arrasto total para largura b: D=D'b.
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para mostrar o uso): se \,U_\infty=10\\ \mathrm{m/s}, \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}, \nu=1{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}, L=1\\ \mathrm{m}, então
  • \sqrt{Re_L}=\sqrt{\dfrac{10\cdot1}{1{,}5\times10^{-5}}}\approx\sqrt{6{,}67\times10^5}\approx816{,}8,
  • D' \approx 0{,}664\cdot1{,}2\cdot10^2\cdot\frac{1}{816{,}8}\approx calcularia o valor numérico final. (Não finalizei o número porque os dados do Problema 9.49 não foram fornecidos — este exemplo é só ilustrativo de como proceder.)

Passo 8

Observações finais, dicas de prova e cuidados:
  • Verifique sempre se o escoamento é de fato laminar até L. A transição laminar→turbulento tipicamente ocorre por volta de Re_x\approx 5\times10^5 a 10^6 dependendo da contaminação e rugosidade. Se Re_L exceder o valor de transição, o trecho turbulento exige outra fórmula para c_f e para o arrasto total deve-se dividir a integração em intervalo laminar e turbulento (ou usar correlações de fluxo turbulento).
  • A singularidade em x=0 é um artefato do modelo idealizado; fisicamente a ponta da placa tem escala onde o modelo precisa ser ajustado, mas a integral do x^{-1/2} de 0 a L é convergente.
  • Memorização útil para prova: local laminar c_f(x)=0{,}664/\sqrt{Re_x}, média \overline{c_f}=1{,}328/\sqrt{Re_L} e arrasto por unidade de envergadura D'=0{,}664\,\rho\,U_\infty^{3/2}\,\nu^{1/2}\,L^{1/2}.

Resposta

\tau_w(x)=0{,}332\,\rho\,U_\infty^{3/2}\,\nu^{1/2}\,x^{-1/2}.
D'=\displaystyle 0{,}664\,\rho\,U_\infty^{3/2}\,\nu^{1/2}\,L^{1/2}=\displaystyle 0{,}664\,\rho\,U_\infty^2\,\frac{L}{\sqrt{Re_L}}.
Avaliação numérica: não é possível sem os dados numéricos do Problema 9.49 (forneça \,U_\infty,\\ \rho,\\ \nu,\\ L e, se quiser, a largura b para obter D=D'b).

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