1- Uma bomba centrifuga é instalada para bombear uma solução de sacarose a
e
tubulação é de aço inoxidável de 6" de diâmetro e a vazão do escoamento é de
. Nas condições da instalação, sabe-se que
sendo que NPSH
m.c.a (considere
) e o rendimento da bomba igual a
. Nessas condições, determinar:
a) A potência da bomba
b) O comprimento da tubulação de sucção
a) A potência da bomba
b) O comprimento da tubulação de sucção
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Solução de sacarose a
com densidade . - Viscosidade dinâmica
. - Pressão de vapor
. - Tubulação de aço inoxidável com diâmetro
. - Vazão volumétrica
. -
. -
(metros de coluna d’água). Foi pedido para considerar . - Rendimento (eficiência) da bomba
.
O enunciado pede:
a) A potência da bomba (potência no eixo / potência elétrica requerida no acionamento considerando eficiência).
b) O comprimento da tubulação de sucção.
a) A potência da bomba (potência no eixo / potência elétrica requerida no acionamento considerando eficiência).
b) O comprimento da tubulação de sucção.
Observação importante (assunção que farei, por falta de mais informação geométrica no enunciado):
- Vou assumir que a sucção é feita de um reservatório aberto à atmosfera (superfície livre ao nível atmosférico) e que a única perda que interessa para calcular o comprimento da tubulação de sucção é a perda por atrito linear nessa tubulação. Ou seja, a queda de carga no lado de sucção é representada por
(Darcy–Weisbach) e o NPSH disponível é limitado por essas perdas na sucção. Se existirem outras perdas geométricas ou diferença de nível, o resultado mudará — vou explicitar isso quando necessário.
Passo 2
Plano de resolução (resumido):
- Converter e calcular velocidade média no tubo a partir de
e . - Calcular a energia disponível sem perdas a partir de pressão atmosférica e pressão de vapor (tudo em metros de água).
- Usar
para determinar a queda de carga permissível na sucção (soma das perdas por atrito e a cabeça de velocidade). - Calcular a perda por atrito admissível
(em m de água). - Calcular o fator de atrito
pela fórmula explícita de Swamee–Jain (precisa do número de Reynolds e da rugosidade relativa); assumirei uma rugosidade típica para aço (vou justificar o valor). - A partir de
isolar e obter o comprimento da sucção. - Calcular a potência hidráulica necessária para vencer essa perda (assumindo que essa perda representa a cabeça que a bomba precisa fornecer — explicarei a suposição) e dividir por
para obter a potência no eixo.
Vou justificar cada fórmula quando usada.
Passo 3
Cálculo da área e velocidade média do escoamento (passo básico e necessário).
Área da seção:
com
.
Velocidade média:
Explicação rápida:
é a área transversal do tubo; dividir a vazão volumétrica pela área dá a velocidade média do fluido. Isso é sempre o primeiro passo ao tratar perdas em tubulações.
Passo 4
Cabeça cinética (cabeça de velocidade) no tubo — vai aparecer na equação do NPSH e também na expressão de perda total.
A cabeça de velocidade é
com
.
Calculando:
Comentário: essa cabeça tem unidade de metros de fluido; é a “altitude” equivalente à energia cinética por unidade de peso. Em cálculo de NPSH é frequentemente subtraída (pois já está contida no termo de energia disponível no olho).
Passo 5
Calcular a máxima NPSH disponível se não houvesse perdas de sucção: diferença entre a cabeça de pressão atmosférica e a cabeça associada à pressão de vapor, em metros de água.
Cabeça atmosférica (em m de água):
Cabeça da pressão de vapor (em m de água):
Portanto, sem perdas, a diferença atmo–vapor (em m de água) é:
Explicação: isso representa quanta “cabeça” disponível há no olho da bomba em relação à pressão de vapor (quanto mais alto, menor risco de cavitação). As perdas na sucção reduzem essa disponibilidade.
Passo 6
Usar a condição dada sobre NPSH disponível:
Logo a soma das perdas na sucção (perda por atrito
mais a cabeça de velocidade
, caso se aplique) deve satisfazer:
Isolando
:
Substituindo os números:
Interpretação: a perda por atrito admissível na linha de sucção (em metros de água) é
. Essa é a queda de carga total admissível para a tubulação de sucção para que
resulte em
.
Passo 7
Relacionar
ao comprimento
via Darcy–Weisbach:
onde
-
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), -
é o comprimento da tubulação de sucção (o que queremos), -
é o diâmetro (já conhecido), -
já calculado.
Precisamos de
. Para isso calculamos o número de Reynolds:
Comentário:
, escoamento turbulento.
Agora a rugosidade absoluta: para aço inoxidável comercial usa-se um valor típico da ordem de
. (Obs.: valores reais podem variar; se a tubulação for mais lisa ou mais rugosa, o resultado para
muda proporcionalmente.)
Calcular a rugosidade relativa:
Uso a fórmula explícita de Swamee–Jain (adequada para regime turbulento):
Calculemos os termos:
Somando e aplicando a fórmula resulta em
Breve explicação:
depende de
e
. A fórmula de Swamee–Jain fornece uma solução explícita aproximada da equação implícita de Colebrook; é bastante usada em cálculos de engenharia.
Passo 8
Agora isolamos
na expressão de Darcy–Weisbach:
Substituindo os valores (todos em unidades SI):
-
, -
, -
, -
.
Interpretação: o comprimento máximo admissível da tubulação de sucção (considerando apenas perdas por atrito linear com a rugosidade assumida) é
. Se a tubulação for mais rugosa,
diminui; se for mais lisa,
aumenta.
Passo 9
Cálculo da potência da bomba. Aqui faço uma observação metodológica: sem mais informações sobre perda no lado de recalque (descarga) ou elevações entre pontos, assumirei que a queda de carga dominante que a bomba precisa vencer para este cálculo que nos interessa é a perda determinada na sucção
(ou seja, estamos estimando a potência necessária associada ao fluxo e à cabeça que calculamos). Em muitas situações reais a potência total incluiria perdas de recalque, ganho de elevação, etc.; se esses dados existirem, devem ser somados na cabeça total
.
A potência hidráulica associada a uma cabeça
(em metros do fluido em questão) é
Tomando
(a perda por atrito na sucção que determinamos):
Potência no eixo da bomba (considerando eficiência
):
Comentários:
- Se existirem perdas no lado de recalque ou diferença de elevação positiva, somá‑las‑íamos a
em e a potência aumentaria proporcionalmente. - A potência hidráulica
depende de . Note que usamos a densidade da solução aqui.
Passo 10
Verificação rápida de coerência e sensibilidade:
- Velocidade
é razoável para uma tubulação de 6" com essa vazão. - Comprimento de sucção
depende sensivelmente da rugosidade assumida; se a tubulação for muito mais lisa, L aumenta; se for mais rugosa, L diminui. - Potência do eixo
é relativamente baixa porque consideramos apenas a perda de sucção como carga. Em projetos práticos normalmente a carga total (perdas de sucção + perdas de recalque + elevação) é maior, aumentando a potência necessária.
Resposta
(a) Potência no eixo da bomba:
.
(b) Comprimento da tubulação de sucção: .
(b) Comprimento da tubulação de sucção: