1- Uma bomba centrifuga é instalada para bombear uma solução de sacarose a 30^{\circ} \mathrm{BRIX} e 30^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=1,12 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ; \mu=5 \mathrm{cp} ; \mathrm{P}_{\text {vap }}=5 \mathrm{kPa}\right) . \mathrm{A} tubulação é de aço inoxidável de 6" de diâmetro e a vazão do escoamento é de 200 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. Nas condições da instalação, sabe-se que \mathrm{NPSH}_{\text {disponivel }}=2 \mathrm{NPSH}_{\text {requerido, }} sendo que NPSH _{\text {requerido }}=3 m.c.a (considere \rho_{\text {ägua }}=1 \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}ä ) e o rendimento da bomba igual a 63 \%. Nessas condições, determinar:
a) A potência da bomba
b) O comprimento da tubulação de sucção

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Solução de sacarose a ...30^\circ\mathrm{C} com densidade \rho = 1{,}12\\ \mathrm{g/cm^3} = 1120\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Viscosidade dinâmica \mu = 5\\ \mathrm{cp} = 5\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Pressão de vapor \;p_{vap}=5\\ \mathrm{kPa}.
  • Tubulação de aço inoxidável com diâmetro \;6'' = 0{,}1524\\ \mathrm{m}.
  • Vazão volumétrica \;Q = 200\\ \mathrm{m^3/h} = \dfrac{200}{3600}\\ \mathrm{m^3/s} = 0{,}0555556\\ \mathrm{m^3/s}.
  • \mathrm{NPSH}_{\mathrm{disponível}} = 2\,\mathrm{NPSH}_{\mathrm{requerido}}í.
  • \mathrm{NPSH}_{\mathrm{requerido}} = 3\\ \mathrm{m.c.a} (metros de coluna d’água). Foi pedido para considerar \rho_{\mathrm{água}}=1{,}00\\ \mathrm{g/cm^3}á.
  • Rendimento (eficiência) da bomba \eta = 63\% = 0{,}63.
O enunciado pede:
a) A potência da bomba (potência no eixo / potência elétrica requerida no acionamento considerando eficiência).
b) O comprimento da tubulação de sucção.
Observação importante (assunção que farei, por falta de mais informação geométrica no enunciado):
  • Vou assumir que a sucção é feita de um reservatório aberto à atmosfera (superfície livre ao nível atmosférico) e que a única perda que interessa para calcular o comprimento da tubulação de sucção é a perda por atrito linear nessa tubulação. Ou seja, a queda de carga no lado de sucção é representada por h_f (Darcy–Weisbach) e o NPSH disponível é limitado por essas perdas na sucção. Se existirem outras perdas geométricas ou diferença de nível, o resultado mudará — vou explicitar isso quando necessário.

Passo 2

Plano de resolução (resumido):
  • Converter e calcular velocidade média no tubo a partir de Q e D.
  • Calcular a energia disponível sem perdas a partir de pressão atmosférica e pressão de vapor (tudo em metros de água).
  • Usar \mathrm{NPSH}_A = 2\mathrm{NPSH}_{req}=6\\ \mathrm{m.c.a} para determinar a queda de carga permissível na sucção (soma das perdas por atrito e a cabeça de velocidade).
  • Calcular a perda por atrito admissível h_f (em m de água).
  • Calcular o fator de atrito f pela fórmula explícita de Swamee–Jain (precisa do número de Reynolds e da rugosidade relativa); assumirei uma rugosidade típica para aço (vou justificar o valor).
  • A partir de h_f = f(L/D)\,v^2/(2g) isolar L e obter o comprimento da sucção.
  • Calcular a potência hidráulica necessária para vencer essa perda (assumindo que essa perda representa a cabeça que a bomba precisa fornecer — explicarei a suposição) e dividir por \eta para obter a potência no eixo.
Vou justificar cada fórmula quando usada.

Passo 3

Cálculo da área e velocidade média do escoamento (passo básico e necessário).
Área da seção:
A = \frac{\pi D^2}{4},
com D=0{,}1524\\ \mathrm{m}.
A = \frac{\pi (0{,}1524)^2}{4} \approx 0{,}018244\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média:
v = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}0555556}{0{,}018244} \approx 3{,}046\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida: A é a área transversal do tubo; dividir a vazão volumétrica pela área dá a velocidade média do fluido. Isso é sempre o primeiro passo ao tratar perdas em tubulações.

Passo 4

Cabeça cinética (cabeça de velocidade) no tubo — vai aparecer na equação do NPSH e também na expressão de perda total.
A cabeça de velocidade é
\frac{v^2}{2g},
com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Calculando:
\frac{v^2}{2g} = \frac{(3{,}046)^2}{2\cdot 9{,}81} \approx 0{,}4729\\ \mathrm{m}.
Comentário: essa cabeça tem unidade de metros de fluido; é a “altitude” equivalente à energia cinética por unidade de peso. Em cálculo de NPSH é frequentemente subtraída (pois já está contida no termo de energia disponível no olho).

Passo 5

Calcular a máxima NPSH disponível se não houvesse perdas de sucção: diferença entre a cabeça de pressão atmosférica e a cabeça associada à pressão de vapor, em metros de água.
Cabeça atmosférica (em m de água):
\frac{p_{atm}}{\rho_{água}\,g} \approx \frac{101325}{1000\cdot 9{,}81} \approx 10{,}33\\ \mathrm{m}.á
Cabeça da pressão de vapor (em m de água):
\frac{p_{vap}}{\rho_{água}\,g} = \frac{5000}{1000\cdot 9{,}81} \approx 0{,}5097\\ \mathrm{m}.á
Portanto, sem perdas, a diferença atmo–vapor (em m de água) é:
10{,}33 - 0{,}5097 = 9{,}8203\\ \mathrm{m}.
Explicação: isso representa quanta “cabeça” disponível há no olho da bomba em relação à pressão de vapor (quanto mais alto, menor risco de cavitação). As perdas na sucção reduzem essa disponibilidade.

Passo 6

Usar a condição dada sobre NPSH disponível:
\mathrm{NPSH}_A = 2\mathrm{NPSH}_{req} = 2\cdot 3 = 6\\ \mathrm{m.c.a.}
Logo a soma das perdas na sucção (perda por atrito h_f mais a cabeça de velocidade v^2/(2g), caso se aplique) deve satisfazer:
\text{(atmo–vap)} - \left(h_f + \frac{v^2}{2g}\right) = \mathrm{NPSH}_A.
Isolando h_f:
h_f = \text{(atmo–vap)} - \mathrm{NPSH}_A - \frac{v^2}{2g}.
Substituindo os números:
h_f = 9{,}8203 - 6 - 0{,}4729 = 3{,}3474\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a perda por atrito admissível na linha de sucção (em metros de água) é \;h_f\approx 3{,}347\\ \mathrm{m}. Essa é a queda de carga total admissível para a tubulação de sucção para que \mathrm{NPSH}_A resulte em 6\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Relacionar h_f ao comprimento L via Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g},
onde
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • L é o comprimento da tubulação de sucção (o que queremos),
  • D é o diâmetro (já conhecido),
  • v^2/(2g) já calculado.
Precisamos de f. Para isso calculamos o número de Reynolds:
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,v\,D}{\mu} = \frac{1120\cdot 3{,}046\cdot 0{,}1524}{0{,}005} \approx 1{,}0396\times 10^{5}.
Comentário: \mathrm{Re} \gg 4000, escoamento turbulento.
Agora a rugosidade absoluta: para aço inoxidável comercial usa-se um valor típico da ordem de \varepsilon \approx 0{,}046\\ \mathrm{mm} = 4{,}6\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}. (Obs.: valores reais podem variar; se a tubulação for mais lisa ou mais rugosa, o resultado para L muda proporcionalmente.)
Calcular a rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D} = \frac{4{,}6\times 10^{-5}}{0{,}1524} \approx 3{,}02\times 10^{-4}.
Uso a fórmula explícita de Swamee–Jain (adequada para regime turbulento):
f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.
Calculemos os termos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D} \approx \frac{4{,}6\times10^{-5}}{3{,}7\cdot 0{,}1524} \approx 8{,}16\times 10^{-5},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{(1{,}0396\times10^{5})^{0{,}9}} \approx 1{,}76\times10^{-4}.
Somando e aplicando a fórmula resulta em
f \approx 0{,}01942.
Breve explicação: f depende de \mathrm{Re} e \varepsilon/D. A fórmula de Swamee–Jain fornece uma solução explícita aproximada da equação implícita de Colebrook; é bastante usada em cálculos de engenharia.

Passo 8

Agora isolamos L na expressão de Darcy–Weisbach:
L = \frac{h_f\,D}{f\,\dfrac{v^2}{2g}}.
Substituindo os valores (todos em unidades SI):
  • h_f = 3{,}3474\\ \mathrm{m},
  • D = 0{,}1524\\ \mathrm{m},
  • f = 0{,}01942,
  • \dfrac{v^2}{2g} = 0{,}4729\\ \mathrm{m}.
L = \frac{3{,}3474 \times 0{,}1524}{0{,}01942 \times 0{,}4729} \approx 55{,}6\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o comprimento máximo admissível da tubulação de sucção (considerando apenas perdas por atrito linear com a rugosidade assumida) é \approx 55{,}6\\ \mathrm{m}. Se a tubulação for mais rugosa, L diminui; se for mais lisa, L aumenta.

Passo 9

Cálculo da potência da bomba. Aqui faço uma observação metodológica: sem mais informações sobre perda no lado de recalque (descarga) ou elevações entre pontos, assumirei que a queda de carga dominante que a bomba precisa vencer para este cálculo que nos interessa é a perda determinada na sucção h_f (ou seja, estamos estimando a potência necessária associada ao fluxo e à cabeça que calculamos). Em muitas situações reais a potência total incluiria perdas de recalque, ganho de elevação, etc.; se esses dados existirem, devem ser somados na cabeça total H.
A potência hidráulica associada a uma cabeça H (em metros do fluido em questão) é
P_h = \rho\,g\,Q\,H.
Tomando H = h_f = 3{,}3474\\ \mathrm{m} (a perda por atrito na sucção que determinamos):
P_h = 1120\cdot 9{,}81 \cdot 0{,}0555556 \cdot 3{,}3474 \approx 2{,}044\\ \mathrm{kW}.
Potência no eixo da bomba (considerando eficiência \eta):
P_{eixo} = \frac{P_h}{\eta} = \frac{2{,}044}{0{,}63} \approx 3{,}245\\ \mathrm{kW}.
Comentários:
  • Se existirem perdas no lado de recalque ou diferença de elevação positiva, somá‑las‑íamos a h_f em H e a potência aumentaria proporcionalmente.
  • A potência hidráulica P_h depende de \rho. Note que usamos a densidade da solução \rho=1120\\ \mathrm{kg/m^3} aqui.

Passo 10

Verificação rápida de coerência e sensibilidade:
  • Velocidade v\approx 3{,}05\\ \mathrm{m/s} é razoável para uma tubulação de 6" com essa vazão.
  • Comprimento de sucção L\approx 55{,}6\\ \mathrm{m} depende sensivelmente da rugosidade assumida; se a tubulação for muito mais lisa, L aumenta; se for mais rugosa, L diminui.
  • Potência do eixo \approx 3{,}25\\ \mathrm{kW} é relativamente baixa porque consideramos apenas a perda de sucção como carga. Em projetos práticos normalmente a carga total (perdas de sucção + perdas de recalque + elevação) é maior, aumentando a potência necessária.

Resposta

(a) Potência no eixo da bomba: P_{eixo}\approx 3{,}25\\ \mathrm{kW}.
(b) Comprimento da tubulação de sucção: L\approx 55{,}6\\ \mathrm{m}.

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