(3,50) Um determinado reservatório de 4 m de altura total tem um orifício a 60 cm do solo. O orifício é circular, pequeno e de parede fina, com 5 cm de diâmetro. Pede-se calcular a vazão de água.
Table 1: Coeficiente de vazão para orifícios circulares verticais de parede fina
\captionsetup{labelformat=empty}
Carga H (m) Diâmetro do orificio (cm)
2 3 4 5 6
0,20 0.653 0.632 0.609 0.607 0.607
0,40 0,651 0,625 0,61 0,607 0,607
0,60 0.648 0,625 0,61 0,607 0.608
0,80 0.645 0,623 0,61 0,607 0,608
1,00 0.642 0,622 0,61 0,607 0.608
1,50 0.638 0,622 0,61 0,607 0.608
2,00 0.636 0,622 0,61 0,607 0.608
3,00 0,634 0,621 0,611 0,607 0.608
5,00 0.634 0.621 0,611 0,607 0.608
10,00 0.634 0,621 0,611 0,607 0,609

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Dados fornecidos:
    • Altura total do reservatório: 4\\ \mathrm{m}.
    • Orifício localizado a 0,60\\ \mathrm{m} do solo.
    • Orifício circular, pequeno, de parede fina, diâmetro 5\\ \mathrm{cm}.
    • Tabela com coeficiente de vazão C (coeficiente de vazão para orifícios circulares verticais de parede fina).
  • O que é pedido:
    • Calcular a vazão de água (ou seja, Q, a vazão volumétrica que sai pelo orifício).

Passo 2

Calcular a carga (diferença de nível entre a superfície livre da água e o centro do orifício), que é o deslocamento que gera pressão hidrostática que impulsiona o jato.
  • A superfície livre está no topo do reservatório, a 4\\ \mathrm{m} do solo.
  • O orifício está a 0,60\\ \mathrm{m} do solo.
  • Portanto a carga (altura útil) é a diferença:
H = 4 - 0,60 = 3,40\\ \mathrm{m}.
Explicação curta: essa H é a distância vertical entre a superfície livre e o orifício; a pressão hidrostática produz velocidade do jato dependendo de H.

Passo 3

Apresentar a fórmula que liga vazão Q, área do orifício A, coeficiente de vazão C e altura H.
  • Em teoria ideal (sem perdas) a velocidade de saída obtida por Torricelli é v_{\text{teo}}=\sqrt{2gH}, onde g é a aceleração da gravidade ( g\approx9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
  • Na prática, devido à contração do jato (vena contracta), perdas locais e efeitos viscosos, usa-se um coeficiente de descarga C (que já reúne efeitos de contração e perda) e a vazão é dada por:
Q = C\,A\,\sqrt{2gH}.
  • Aqui:
    • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^{3}/s}),
    • C é o coeficiente de vazão (adimensional),
    • A é a área do orifício ( \mathrm{m^{2}}),
    • g é 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}},
    • H é a carga já calculada ( 3,40\\ \mathrm{m}).
Breve ensino: a raiz \sqrt{2gH} vem do princípio de Bernoulli entre superfície livre (pressão atmosférica) e saída do orifício (também praticamente à pressão atmosférica), levando à conversão da energia potencial (altura) em energia cinética; o C corrige para efeitos reais.

Passo 4

Escolher o coeficiente de vazão C na tabela fornecida.
  • O enunciado fornece uma tabela (peguei o dado da tabela) com valores de coeficiente para vários diâmetros e cargas.
  • Nosso diâmetro é 5\\ \mathrm{cm}. Nossa carga calculada é H=3,40\\ \mathrm{m}.
  • Na tabela, para diâmetro 5\\ \mathrm{cm} os valores mostrados são aproximadamente 0,607 para várias cargas (por exemplo em H=3{,}00\\ \mathrm{m} aparece 0{,}607 e em H=5{,}00\\ \mathrm{m} também 0{,}607). Como H=3{,}40\\ \mathrm{m} está entre essas entradas, adota-se
C = 0,607 \quad\text{(valor obtido da tabela para \(d=5\\ \mathrm{cm}\) e \(H\) próximo de \(3{,}4\\ \mathrm{m}\)).}ó

Passo 5

Calcular a área do orifício A.
  • Diâmetro d = 5\\ \mathrm{cm} = 0,05\\ \mathrm{m}.
  • Área de um círculo:
A = \frac{\pi d^{2}}{4}.
  • Substituindo:
A = \frac{\pi (0,05)^{2}}{4} = \pi\cdot 0,000625 = 0,0019635\\ \mathrm{m^{2}}.
(Arredondando convenientemente: A\approx0,0019635\\ \mathrm{m^{2}}.)

Passo 6

Calcular o termo \sqrt{2gH}.
  • Valores:
    • g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}},
    • H=3{,}40\\ \mathrm{m}.
  • Então:
\sqrt{2gH}=\sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 3{,}40}=\sqrt{66{,}708}\approx 8{,}17\\ \mathrm{m/s}.
(Arredondei para duas casas decimais na velocidade de referência; mantemos mais casas nas contas seguintes.)

Passo 7

Calcular a vazão Q usando a fórmula e os números obtidos.
  • Fórmula:
Q = C\,A\,\sqrt{2gH}.
  • Substituindo C=0{,}607, A=0{,}0019635\\ \mathrm{m^{2}}, \sqrt{2gH}\approx 8{,}168\\ \mathrm{m/s}:
Q \approx 0{,}607 \times 0{,}0019635 \times 8{,}168 \approx 0{,}00974\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Converter para litros por segundo (1 \mathrm{m^{3}/s}=1000\\ \mathrm{L/s}):
Q \approx 9{,}74\\ \mathrm{L/s}.
Explicação: multiplicou-se a área pelo velocidade corrigida pelo coeficiente; o resultado é a vazão volumétrica.

Passo 8

Verificação de coerência e arredondamento.
  • O valor obtido Q\approx0{,}00974\\ \mathrm{m^{3}/s} corresponde a cerca de 9{,}74\\ \mathrm{L/s}, que é coerente para um orifício de 5\\ \mathrm{cm} com carga de alguns metros.
  • Considerando a precisão dos dados (coeficiente tabelado com três casas e medidas típicas), apresentar a resposta com três algarismos significativos é adequado.

Resposta

Q = 9,74\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s}
Q = 9,74\\ \mathrm{L/s}

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