5.50 O eixo e o volante rotativos, quando parados subitamente em D, começam a oscilar nos sentidos horário e anti-horário, de modo que um ponto A na borda externa do volante desloca-se um arco de 6 mm . Determinar a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo tubular de aço A-36 devido à oscilação. O eixo tem diâmetro interno de 24 mm e diâmetro externo de 32 mm . Os mancais em B e C permitem que ele gire livremente, enquanto o apoio em D o mantém fixo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O que o enunciado pede: determinar a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo tubular de aço A‑36 devido à oscilação descrita.
  • Dados fornecidos no enunciado:
    • Um ponto A na borda externa do volante desloca‑se um arco de 6\\ \text{mm}.
    • Eixo tubular com diâmetro interno d_i=24\\ \text{mm} e diâmetro externo d_o=32\\ \text{mm}.
    • Mancais em B e C permitem rotação livre; apoio em D mantém o eixo fixo (logo a torção ocorre entre o volante e D).
    • Material: aço A‑36 (há que usar G apropriado).
  • Informação importante que NÃO foi dada (e que é necessária para obter um valor numérico):
    • o raio (ou diâmetro) do volante (ou seja, o raio R onde o ponto A está), que relaciona o arco 6\\ \text{mm} com o ângulo de torção;
    • o comprimento L do trecho do eixo entre o volante (ponto onde se mede o ângulo) e o apoio fixo em D (comprimento ao longo do qual ocorre a torção).
  • Conclusão do passo: o enunciado não forneceu R nem L. Esses valores são necessários para obter a tensão numérica. A seguir eu explico totalmente a teoria e apresento a fórmula que permite calcular a tensão assim que R e L forem conhecidos.

Passo 2

Ligando o deslocamento do ponto A ao ângulo de torção do conjunto.
  • A relação entre arco deslocado s (no contorno do volante) e o ângulo de torção \theta (em radianos) é
s = R\,\theta,
onde R é o raio do volante no ponto A. Portanto
\theta = \frac{s}{R}.
  • No enunciado temos s=6\\ \text{mm}. Para obter \theta numericamente é preciso conhecer R (em mm). Se R não for fornecido, \theta fica em função de R.
Explicação didática curta: o arco é a distância ao longo da circunferência; se a roda gira um ângulo \theta (rad), a distância percorrida na borda é R\theta. Simples e prático para provas.

Passo 3

Relembrando a teoria da torção para um eixo de seção circular (aqui: tubular).
  • Para um eixo cilíndrico (ou tubular) em torção, o ângulo de torção entre as extremidades de um trecho de comprimento L e submetido a torque T é dado por
\theta = \frac{T\,L}{G\,J},
onde:
  • T é o torque (N·mm),
  • L é o comprimento do trecho que sofre torção (mm),
  • G é o módulo de cisalhamento do material (N/mm ^2),
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (mm ^4).
  • A tensão de cisalhamento máxima na borda (raio externo c) para esse torque é
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde c é o raio externo da seção do eixo (no nosso caso c=d_o/2).
Explicação didática: a equação \theta=T L/(GJ) vem da relação entre torque e giro elástico; a tensão máxima na fibra externa é linear com o raio e proporcional ao torque, sendo o fator de proporcionalidade 1/J.

Passo 4

Combinação das equações para eliminar T e obter \tau_{\max} em função de \theta.
  • Isolando T de \theta = T L/(GJ) segue
T=\frac{GJ\theta}{L}.
  • Substituindo em \tau_{\max}=T c/J obtemos, com cancelamento de J,
\tau_{\max}=\frac{G c \theta}{L}.
  • Substituindo \theta = s/R (Passo 2) resulta
\tau_{\max}=\frac{G c}{L}\cdot\frac{s}{R}=\frac{G c s}{R L}.
Comentário didático: esse resultado é útil — ele mostra que, para um eixo uniforme, a dependência de \tau_{\max} com a rigidez à torção J some quando relacionamos a tensão diretamente ao ângulo de torção. A tensão depende de G, do raio externo c, do deslocamento na borda s, do raio do volante R e do comprimento L sobre o qual a torção ocorre.

Passo 5

Valores numéricos conhecidos e simplificação da expressão.
  • Raio externo do eixo (meio do diâmetro externo):
c=\frac{d_o}{2}=\frac{32\\ \text{mm}}{2}=16\\ \text{mm}.
  • Arco: s=6\\ \text{mm}.
  • Substituindo c e s em \tau_{\max}=\dfrac{G c s}{R L} obtém‑se
\tau_{\max}=\frac{96\,G}{R\,L},
onde R e L estão em mm, G em N/mm ^2, e \tau_{\max} resultará em N/mm ^2 (que é MPa).
  • Módulo de cisalhamento típico para aço A‑36: tomar E\approx 200{,}000\\ \text{N/mm}^2 e \nu\approx 0{,}30, então
G=\frac{E}{2(1+\nu)}\approx\frac{200{,}000}{2{,}6}\approx76{,}923\\ \text{N/mm}^2\\ (\approx77{,}000\\ \text{N/mm}^2).
  • Com esse G a expressão numérica fica
\tau_{\max}\\ (\text{MPa})\approx\frac{7{,}382{,}000}{R\,L},
onde o numerador 7{,}382{,}000 tem unidades N/mm ^2\cdotmm ^2 e R e L estão em mm; o resultado é em N/mm ^2 (MPa).
Observação didática: mantive R e L em mm para consistência das unidades; se fossem dados em metros convém converter.

Passo 6

Cálculo do momento polar J (informação útil, mesmo que não seja necessário para a fórmula final); mostro o procedimento de prova caso queiram usar a rota T primeiro.
  • Para um eixo tubular,
J=\frac{\pi}{32}\left(d_o^4-d_i^4\right).
  • Cálculo com d_o=32\\ \text{mm}, d_i=24\\ \text{mm}:
d_o^4=32^4=1{,}048{,}576,\qquad d_i^4=24^4=331{,}776
d_o^4-d_i^4=716{,}800
J=\frac{\pi}{32}\cdot716{,}800=22{,}400\pi\\ \text{mm}^4\approx70{,}350\\ \text{mm}^4.
  • Se alguém preferir calcular o torque T e depois \tau_{\max}=Tc/J, segue o passo: primeiro obter \theta=s/R, depois T=GJ\theta/L e por fim \tau_{\max}=T c/J. As duas rotas dão o mesmo resultado.

Passo 7

Conclusão prática e instruções finais — por que não posso fornecer um número final e o que fazer na prova.
  • Não é possível fornecer um valor numérico para \tau_{\max} com os dados fornecidos porque faltam:
    • o raio R do volante (necessário para transformar s=6\\ \text{mm} em ângulo \theta);
    • o comprimento L do trecho do eixo entre o volante e o apoio fixo D (onde ocorre a torção).
  • Fórmula final que deve ser usada na prova assim que R e L forem conhecidos:
\boxed{\tau_{\max}=\dfrac{G\,c\,s}{R\,L}.}
Com os valores conhecidos do enunciado ( c=16\\ \text{mm}, s=6\\ \text{mm}) pode‑se escrever também
\boxed{\tau_{\max}=\dfrac{96\,G}{R\,L}.}
  • Exemplo de uso prático: se, por exemplo, o raio do volante fosse R=150\\ \text{mm} e o comprimento até D fosse L=300\\ \text{mm}, usando G\approx76{,}923\\ \text{N/mm}^2 obtém‑se
\tau_{\max}=\frac{96\cdot76{,}923}{150\cdot300}\approx1{,}64\\ \text{N/mm}^2\\ (\text{MPa}).
(Isto é só um exemplo ilustrativo; não é resposta do enunciado porque R e L não foram dados.)
Força final: você já tem a receita completa — quando obtiver (ou localizar na figura) R e L, substitui na fórmula e obtém imediatamente a tensão. Vai dar tudo certo!

Resposta

Não é possível determinar numericamente a tensão máxima por falta do raio do volante R e do comprimento entre o volante e o apoio D, L. A fórmula que fornece a resposta assim que esses dados forem conhecidos é
\tau_{\max}=\frac{G\,c\,s}{R\,L}=\frac{96\,G}{R\,L},
com c=16\\ \text{mm} e s=6\\ \text{mm}.

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