5.50 O eixo e o volante rotativos, quando parados subitamente em
, começam a oscilar nos sentidos horário e anti-horário, de modo que um ponto
na borda externa do volante desloca-se um arco de 6 mm . Determinar a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo tubular de aço A-36 devido à oscilação. O eixo tem diâmetro interno de 24 mm e diâmetro externo de 32 mm . Os mancais em
e
permitem que ele gire livremente, enquanto o apoio em
o mantém fixo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- O que o enunciado pede: determinar a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo tubular de aço A‑36 devido à oscilação descrita.
- Dados fornecidos no enunciado:
- Um ponto
na borda externa do volante desloca‑se um arco de . - Eixo tubular com diâmetro interno
e diâmetro externo . - Mancais em
e permitem rotação livre; apoio em mantém o eixo fixo (logo a torção ocorre entre o volante e ). - Material: aço A‑36 (há que usar
apropriado).
- Um ponto
- Informação importante que NÃO foi dada (e que é necessária para obter um valor numérico):
- o raio (ou diâmetro) do volante (ou seja, o raio
onde o ponto está), que relaciona o arco com o ângulo de torção; - o comprimento
do trecho do eixo entre o volante (ponto onde se mede o ângulo) e o apoio fixo em (comprimento ao longo do qual ocorre a torção).
- o raio (ou diâmetro) do volante (ou seja, o raio
- Conclusão do passo: o enunciado não forneceu
nem . Esses valores são necessários para obter a tensão numérica. A seguir eu explico totalmente a teoria e apresento a fórmula que permite calcular a tensão assim que e forem conhecidos.
Passo 2
Ligando o deslocamento do ponto
ao ângulo de torção do conjunto.
- A relação entre arco deslocado
(no contorno do volante) e o ângulo de torção (em radianos) é
onde
é o raio do volante no ponto
. Portanto
- No enunciado temos
. Para obter numericamente é preciso conhecer (em mm). Se não for fornecido, fica em função de .
Explicação didática curta: o arco é a distância ao longo da circunferência; se a roda gira um ângulo
(rad), a distância percorrida na borda é
. Simples e prático para provas.
Passo 3
Relembrando a teoria da torção para um eixo de seção circular (aqui: tubular).
- Para um eixo cilíndrico (ou tubular) em torção, o ângulo de torção entre as extremidades de um trecho de comprimento
e submetido a torque é dado por
onde:
-
é o torque (N·mm), -
é o comprimento do trecho que sofre torção (mm), -
é o módulo de cisalhamento do material (N/mm ), -
é o momento polar de inércia da seção transversal (mm ). -
A tensão de cisalhamento máxima na borda (raio externo
) para esse torque é
onde
é o raio externo da seção do eixo (no nosso caso
).
Explicação didática: a equação
vem da relação entre torque e giro elástico; a tensão máxima na fibra externa é linear com o raio e proporcional ao torque, sendo o fator de proporcionalidade
.
Passo 4
Combinação das equações para eliminar
e obter
em função de
.
- Isolando
de segue
- Substituindo em
obtemos, com cancelamento de ,
- Substituindo
(Passo 2) resulta
Comentário didático: esse resultado é útil — ele mostra que, para um eixo uniforme, a dependência de
com a rigidez à torção
some quando relacionamos a tensão diretamente ao ângulo de torção. A tensão depende de
, do raio externo
, do deslocamento na borda
, do raio do volante
e do comprimento
sobre o qual a torção ocorre.
Passo 5
Valores numéricos conhecidos e simplificação da expressão.
- Raio externo do eixo (meio do diâmetro externo):
- Arco:
. - Substituindo
e em obtém‑se
onde
e
estão em mm,
em N/mm
, e
resultará em N/mm
(que é MPa).
- Módulo de cisalhamento típico para aço A‑36: tomar
e , então
- Com esse
a expressão numérica fica
onde o numerador
tem unidades N/mm
mm
e
e
estão em mm; o resultado é em N/mm
(MPa).
Observação didática: mantive
e
em mm para consistência das unidades; se fossem dados em metros convém converter.
Passo 6
Cálculo do momento polar
(informação útil, mesmo que não seja necessário para a fórmula final); mostro o procedimento de prova caso queiram usar a rota
primeiro.
- Para um eixo tubular,
- Cálculo com
, :
- Se alguém preferir calcular o torque
e depois , segue o passo: primeiro obter , depois e por fim . As duas rotas dão o mesmo resultado.
Passo 7
Conclusão prática e instruções finais — por que não posso fornecer um número final e o que fazer na prova.
- Não é possível fornecer um valor numérico para
com os dados fornecidos porque faltam: - o raio
do volante (necessário para transformar em ângulo ); - o comprimento
do trecho do eixo entre o volante e o apoio fixo (onde ocorre a torção).
- o raio
- Fórmula final que deve ser usada na prova assim que
e forem conhecidos:
Com os valores conhecidos do enunciado (
,
) pode‑se escrever também
- Exemplo de uso prático: se, por exemplo, o raio do volante fosse
e o comprimento até fosse , usando obtém‑se
(Isto é só um exemplo ilustrativo; não é resposta do enunciado porque
e
não foram dados.)
Força final: você já tem a receita completa — quando obtiver (ou localizar na figura)
e
, substitui na fórmula e obtém imediatamente a tensão. Vai dar tudo certo!
Resposta
Não é possível determinar numericamente a tensão máxima por falta do raio do volante
e do comprimento entre o volante e o apoio
,
. A fórmula que fornece a resposta assim que esses dados forem conhecidos é
com
e
.