Uma massa de 1 kg é atada a uma mola cuja constante de elasticidade é
e o sistema inteiro é então submerso em um líquido que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 10 vezes a velocidade instantânea. Determine as equações de movimento se
(a) uma força externa
está presente no sistema;
(a) uma força externa
Passo 1
O enunciado pede pra modelar uma massa de 1 kg presa a uma mola de constante 16 N/m, com amortecimento viscoso de coeficiente 10 N·s/m e força externa f(t)=cos(2t). Vamos precisar lembrar que a equação de movimento de um sistema massa-mola-amortecedor é m x’’+c x’+k x=f(t). Aqui m=1, c=10, k=16 e f(t)=cos(2t).
Passo 2
Escrevendo a equação diferencial temos
Para a solução homogênea consideramos a característica
cuja resolução dá
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte particular usamos o método dos coeficientes a determinar e propomos
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação e agrupando termos em cos(2t) e sin(2t) obtemos o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema, da segunda equação vem 12B=20A ⇒ B=\tfrac{5}{3}A. Substituindo na primeira:
e então
Assim
Passo 5
Juntando as partes homogênea e particular, a solução geral da equação é
Resposta
x(t)=C_{1}e{-2t}+C_{2}e{-8t}+\frac{3}{136}\cos(2t)+\frac{5}{136}\sin(2t)