(0,50) Uma massa de 1 kg é atada a uma mola cuja constante de elasticidade é 16 N / m e o sistema inteiro é então submerso em um líquido que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 10 vezes a velocidade instantânea. Determine as equações de movimento se
(a) uma força externa f(t)=cos (2 t) está presente no sistema;

Passo 1

O enunciado pede pra modelar uma massa de 1 kg presa a uma mola de constante 16 N/m, com amortecimento viscoso de coeficiente 10 N·s/m e força externa f(t)=cos(2t). Vamos precisar lembrar que a equação de movimento de um sistema massa-mola-amortecedor é m x’’+c x’+k x=f(t). Aqui m=1, c=10, k=16 e f(t)=cos(2t).

Passo 2

Escrevendo a equação diferencial temos
x''+10x'+16x=cos(2t)
Para a solução homogênea consideramos a característica
r^2+10r+16=0
cuja resolução dá
r=-2e r=-8
Logo a solução homogênea é
xh(t)=C1e^-2t+C2e^-8t

Passo 3

Para a parte particular usamos o método dos coeficientes a determinar e propomos
xp(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)
Calculando as derivadas:
xp'=-2Asin(2t)+2Bcos(2t),
xp''=-4Acos(2t)-4Bsin(2t)
Substituindo na equação e agrupando termos em cos(2t) e sin(2t) obtemos o sistema
12A+20B=1,
-20A+12B=0

Passo 4

Resolvendo o sistema, da segunda equação vem 12B=20A ⇒ B=\tfrac{5}{3}A. Substituindo na primeira:
12A+20l(tfrac53Ar)=1implies tfrac1363A=1implies A=tfrac3136,
e então
B=tfrac53cdottfrac3136=tfrac5136
Assim
xp(t)=3136cos(2t)+5136sin(2t)

Passo 5

Juntando as partes homogênea e particular, a solução geral da equação é
x(t)=C1e^-2t+C2e^-8t+3136cos(2t)+5136sin(2t)

Resposta

x(t)=C_{1}e{-2t}+C_{2}e{-8t}+\frac{3}{136}\cos(2t)+\frac{5}{136}\sin(2t)

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