Calcule a integral dada e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 13x+5,dx e depois verificar o resultado derivando-o. O conteúdo é integração de uma função da forma 1/(ax+b), e vamos usar substituição para resolver.

Passo 2

Definimos a substituição u = 3x + 5. Então du = 3,dx, ou seja, dx = du3. Substituindo na integral:
integral 13x+5,dx = integral 1u cdot du3 = 13 integral 1u,du

Passo 3

Sabendo que integral 1u,du = ln|u| + C, concluímos que
13 integral 1u,du = 13 ln|u| + C Voltando à variável x, obtemos
13 ln|3x+5| + C

Passo 4

Para verificar, derivamos F(x) = tfrac13ln|3x+5| + C. Aplicando a regra da cadeia:
F'(x) = 13 cdot 13x+5 cdot 3 = 13x+5, que é exatamente o integrando original. Portanto, o cálculo está correto.

Resposta

13ln|3x+5| + C

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