Use coordenadas polares para mostrar que I=raizpi / 2. Sugestão
I^2 & =(integral0^infty e^-x^2 d x)^2 & =(integral0^infty e^-x^2 d x)(integral0^infty e^-y^2 d y) & =integral0^infty integral0^infty e^-(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

Estamos estudando o integral gaussiano I=integral0^inftye^-x^2,dx e queremos mostrar que I=tfracraizpi2. Vamos usar coordenadas polares para transformar o quadrado de I.

Passo 2

Para elevar ao quadrado, escrevemos
I^2=l(integral0^inftye^-x^2,dxr)l(integral0^inftye^-y^2,dyr)=integral0^inftyintegral0^inftye^-(x^2+y^2),dx,dy

Passo 3

Agora fazemos a troca para coordenadas polares. Definimos x=rcostheta, y=rsintheta e usamos o jacobiano dx,dy=r,dr,dtheta. Como estamos no primeiro quadrante, rin[0,infty) e thetain[0,tfracpi2].
Em coordenadas polares temos
I^2=integral0^tfracpi2integral0^inftye^-r^2,r,dr,dtheta=

Passo 4

Podemos separar a integral em produto de uma em theta e outra em r:
integral0^tfracpi2dtheta;times;integral0^inftye^-r^2r,dr

Passo 5

A primeira parte é

Passo 6

Na segunda usamos a substituição u=r^2, du=2r,dr, logo
integral0^inftye^-r^2r,dr=tfrac12integral0^inftye^-udu=tfrac12

Passo 7

Assim
I^2=tfracpi2timestfrac12=tfracpi4Longrightarrow I=raiztfracpi4=tfracraizpi2

Resposta

I=dfracraizpi2.

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