Use coordenadas polares para mostrar que
. Sugestão
Passo 1
Estamos estudando o integral gaussiano
e queremos mostrar que
. Vamos usar coordenadas polares para transformar o quadrado de
.
Passo 2
Para elevar ao quadrado, escrevemos
Passo 3
Agora fazemos a troca para coordenadas polares. Definimos
,
e usamos o jacobiano
. Como estamos no primeiro quadrante,
e
.
Em coordenadas polares temos
Em coordenadas polares temos
Passo 4
Podemos separar a integral em produto de uma em
e outra em
:
Passo 5
A primeira parte é
Passo 6
Na segunda usamos a substituição
,
, logo
Passo 7
Assim