Calcule a integral dada e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.

Passo 1

O exercício pede para calcular integral x e^x^2,dx e depois verificar se o resultado está correto derivando-o. O conteúdo envolvido é integração por substituição simples, usando que a derivada de x^2 gera o fator x.

Passo 2

Para aplicar a substituição, definimos
u = x^2
então
du = 2x,dx
Logo podemos escrever
x,dx = du2 .

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral x e^x^2,dx = integral e^ucdotdu2 = 12 integral e^u,du .

Passo 4

Agora é só integrar e^u:
12 integral e^u,du = 12 e^u + C
e voltamos à variável x:
12 e^x^2 + C .

Passo 5

Para verificar, derivamos o resultado:
ddxl(tfrac12 e^x^2 + Cr) = tfrac12 cdot e^x^2 cdot 2x = x e^x^2
que é exatamente o integrando, confirmando que está correto.

Resposta

tfrac12 e^x^2 + C

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