1. 6-50. Mostre que \left\langle x^{2}\right\rangle=L^{2} / 3 para a função de distribuição clássica do poço quadrado infinito.

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos. O enunciado quer que mostremos que
\langle x^{2}\rangle = \frac{L^{2}}{3}
quando usamos a função de distribuição clássica do poço quadrado infinito. Informações relevantes:
  • O poço quadrado infinito clássico corresponde a uma partícula que, classically, está igualmente provável em qualquer posição dentro do poço de largura L.
  • Isso significa que a densidade de probabilidade de posição (função de distribuição) é constante no intervalo onde o poço existe e zero fora.
  • O intervalo espacial do poço é [0,L] (assumiremos essa convenção; se o enunciado usar [-L/2,L/2] o resultado muda de forma consistente, mas aqui usamos [0,L]).

Passo 2

Explicar a fórmula que vamos usar. Para uma variável contínua x com densidade de probabilidade \rho(x), o valor esperado (esperança) de x^{2} é definido por
\langle x^{2}\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x^{2}\,\rho(x)\,dx.
Aqui \rho(x) é a densidade de probabilidade, satisfazendo a normalização
\int_{-\infty}^{\infty} \rho(x)\,dx = 1.
Explicando as peças: x^{2} é a função cujo valor médio queremos; \rho(x)\,dx é a probabilidade de encontrar a partícula entre x e x+dx. No poço clássico a integral restringe-se ao interior do poço porque fora dele \rho(x)=0.

Passo 3

Especificar a densidade de probabilidade para o caso clássico do poço. Como a partícula é igualmente provável em qualquer posição dentro do poço [0,L]\), a densidade é constante ali e zero fora. Então definimos \[\rho(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{L}, & 0\le x\le L,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
Verificação da normalização (passo importante para não errar): calcular
\int_{-\infty}^{\infty}\rho(x)\,dx=\int_{0}^{L}\frac{1}{L}\,dx=\frac{1}{L}\bigl[x\bigr]_{0}^{L}=\frac{1}{L}\cdot L=1,
portanto (\rho(x)] está corretamente normalizada.]

Passo 4

Aplicar a fórmula da esperança com a densidade escolhida. Substituindo em \langle x^{2}\rangle obtemos a integral no intervalo do poço:
\langle x^{2}\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x^{2}\rho(x)\,dx = \int_{0}^{L} x^{2}\cdot\frac{1}{L}\,dx = \frac{1}{L}\int_{0}^{L} x^{2}\,dx.
Agora calculamos a integral de x^{2}. A primitiva de x^{2} é x^{3}/3, logo
\int_{0}^{L} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{L} = \frac{L^{3}}{3} - 0 = \frac{L^{3}}{3}.

Passo 5

Concluir o cálculo substituindo o resultado da integral:
\langle x^{2}\rangle = \frac{1}{L}\cdot\frac{L^{3}}{3} = \frac{L^{2}}{3}.
Interpretação rápida e exemplo extra (útil para fixar): a média \langle x\rangle com a mesma densidade seria
\langle x\rangle = \frac{1}{L}\int_{0}^{L} x\,dx = \frac{1}{L}\cdot\frac{L^{2}}{2} = \frac{L}{2},
o que bate com a intuição de que a posição média é o centro do poço; já \langle x^{2}\rangle = L^{2}/3 dá a medida quadrática média usada para variância e dispersão.

Resposta

\dfrac{L^{2}}{3}

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