- 6-50. Mostre que
para a função de distribuição clássica do poço quadrado infinito.
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos. O enunciado quer que mostremos que
quando usamos a função de distribuição clássica do poço quadrado infinito. Informações relevantes:
- O poço quadrado infinito clássico corresponde a uma partícula que, classically, está igualmente provável em qualquer posição dentro do poço de largura
. - Isso significa que a densidade de probabilidade de posição (função de distribuição) é constante no intervalo onde o poço existe e zero fora.
- O intervalo espacial do poço é
(assumiremos essa convenção; se o enunciado usar o resultado muda de forma consistente, mas aqui usamos ).
Passo 2
Explicar a fórmula que vamos usar. Para uma variável contínua
com densidade de probabilidade
, o valor esperado (esperança) de
é definido por
Aqui
é a densidade de probabilidade, satisfazendo a normalização
Explicando as peças:
é a função cujo valor médio queremos;
é a probabilidade de encontrar a partícula entre
e
. No poço clássico a integral restringe-se ao interior do poço porque fora dele
.
Passo 3
Especificar a densidade de probabilidade para o caso clássico do poço. Como a partícula é igualmente provável em qualquer posição dentro do poço
Verificação da normalização (passo importante para não errar): calcular
portanto (\rho(x)] está corretamente normalizada.]
Passo 4
Aplicar a fórmula da esperança com a densidade escolhida. Substituindo em
obtemos a integral no intervalo do poço:
Agora calculamos a integral de
. A primitiva de
é
, logo
Passo 5
Concluir o cálculo substituindo o resultado da integral:
Interpretação rápida e exemplo extra (útil para fixar): a média
com a mesma densidade seria
o que bate com a intuição de que a posição média é o centro do poço; já
dá a medida quadrática média usada para variância e dispersão.