\mathbf{1}^{\mathbf{a}} Questão (\mathbf{1 , 0}) - Suponha que o aquecimento global, nos próximos séculos, seja o suficientemente grande para que a massa de gelo derretido nos polos se distribua pelo planeta na região mais próxima ao Equador.
(a) Como isso alteraria o momento de inércia da Terra (aumenta, diminui)?

Passo 1

O enunciado diz que a massa de gelo dos polos derrete e essa água se redistribui pelo planeta na região mais próxima ao Equador. A pergunta é: como isso alteraria o momento de inércia da Terra — aumentaria ou diminuiria?
Informações relevantes dadas:
  • Uma certa massa de gelo (chamar de m_{\text{gelo}}) sai de regiões polares e vai para regiões próximas ao Equador.
  • A Terra gira em torno de um eixo que passa pelos polos.
  • Pergunta direta: efeito sobre o momento de inércia da Terra (aumenta ou diminui).

Passo 2

O que é momento de inércia — explicação didática.
  • O momento de inércia mede quanto a massa de um corpo está “espalhada” em relação a um eixo de rotação; é a analogia rotacional da massa na tradução.
  • Para um conjunto de massas pontuais, o momento de inércia em torno de um eixo é
I=\sum_i m_i r_i^2,
onde m_i é cada massa e r_i é a distância perpendicular dessa massa ao eixo de rotação.
  • Para uma distribuição contínua de massa usamos
I=\int r^2\,\mathrm{d}m,
onde \mathrm{d}m é um pequeno elemento de massa e r é sua distância ao eixo.
  • Importante: r é a distância ao eixo de rotação (no caso da Terra, ao eixo que liga os polos). Quanto maior r, maior a contribuição ao momento de inércia, porque aparece ao quadrado.

Passo 3

Posição inicial do gelo (nos polos) — analisar a contribuição inicial ao momento de inércia.
  • Nos polos, os pontos estão praticamente sobre o eixo de rotação; a distância perpendicular ao eixo é muito pequena. Podemos dizer, idealmente,
r_{\text{polo}}\approx 0.
  • Assim, a contribuição do gelo polar ao momento de inércia antes da redistribuição é muito pequena:
I_{\text{inicial, gelo}}\approx m_{\text{gelo}}\;r_{\text{polo}}^{2}\approx 0.

Passo 4

Posição final do gelo (próximo ao Equador) — analisar a contribuição final ao momento de inércia.
  • No Equador, a distância perpendicular ao eixo de rotação é aproximadamente o raio da Terra. Denotando o raio por R,
r_{\text{equador}}\approx R.
  • Então, depois da redistribuição, a contribuição desse mesmo gelo ao momento de inércia será aproximadamente
I_{\text{final, gelo}}\approx m_{\text{gelo}}\;R^{2}.

Passo 5

Cálculo da variação do momento de inércia e conclusão lógica.
  • A variação do momento de inércia causada por essa transferência de massa é
\Delta I=I_{\text{final, gelo}}-I_{\text{inicial, gelo}}\approx m_{\text{gelo}}\,R^{2}-0 = m_{\text{gelo}}\,R^{2}.
  • Como m_{\text{gelo}}>0 e R^{2}>0, segue que \Delta I>0. Portanto o momento de inércia total da Terra aumenta.

Passo 6

Intuição física e comentário extra motivador (útil para prova).
  • Intuitivamente: levar massa para mais longe do eixo faz com que o corpo resista mais a mudanças na sua rotação — isto é o que o momento de inércia mede. Mover massa dos polos para o Equador aumenta essa “resistência”.
  • Observação adicional (não pedida, mas boa para fixar): pela conservação do momento angular ( L=I\omega constante se não há torque externo significativo), se I aumenta a velocidade angular \omega diminui — a Terra pisaria mais devagar, o dia ficaria ligeiramente mais longo.

Resposta

Aumenta.

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