Questão
- Suponha que o aquecimento global, nos próximos séculos, seja o suficientemente grande para que a massa de gelo derretido nos polos se distribua pelo planeta na região mais próxima ao Equador.
(a) Como isso alteraria o momento de inércia da Terra (aumenta, diminui)?
Passo 1
O enunciado diz que a massa de gelo dos polos derrete e essa água se redistribui pelo planeta na região mais próxima ao Equador. A pergunta é: como isso alteraria o momento de inércia da Terra — aumentaria ou diminuiria?
Informações relevantes dadas:
- Uma certa massa de gelo (chamar de
) sai de regiões polares e vai para regiões próximas ao Equador. - A Terra gira em torno de um eixo que passa pelos polos.
- Pergunta direta: efeito sobre o momento de inércia da Terra (aumenta ou diminui).
Passo 2
O que é momento de inércia — explicação didática.
- O momento de inércia mede quanto a massa de um corpo está “espalhada” em relação a um eixo de rotação; é a analogia rotacional da massa na tradução.
- Para um conjunto de massas pontuais, o momento de inércia em torno de um eixo é
onde
é cada massa e
é a distância perpendicular dessa massa ao eixo de rotação.
- Para uma distribuição contínua de massa usamos
onde
é um pequeno elemento de massa e
é sua distância ao eixo.
- Importante:
é a distância ao eixo de rotação (no caso da Terra, ao eixo que liga os polos). Quanto maior , maior a contribuição ao momento de inércia, porque aparece ao quadrado.
Passo 3
Posição inicial do gelo (nos polos) — analisar a contribuição inicial ao momento de inércia.
- Nos polos, os pontos estão praticamente sobre o eixo de rotação; a distância perpendicular ao eixo é muito pequena. Podemos dizer, idealmente,
- Assim, a contribuição do gelo polar ao momento de inércia antes da redistribuição é muito pequena:
Passo 4
Posição final do gelo (próximo ao Equador) — analisar a contribuição final ao momento de inércia.
- No Equador, a distância perpendicular ao eixo de rotação é aproximadamente o raio da Terra. Denotando o raio por
,
- Então, depois da redistribuição, a contribuição desse mesmo gelo ao momento de inércia será aproximadamente
Passo 5
Cálculo da variação do momento de inércia e conclusão lógica.
- A variação do momento de inércia causada por essa transferência de massa é
- Como
e , segue que . Portanto o momento de inércia total da Terra aumenta.
Passo 6
Intuição física e comentário extra motivador (útil para prova).
- Intuitivamente: levar massa para mais longe do eixo faz com que o corpo resista mais a mudanças na sua rotação — isto é o que o momento de inércia mede. Mover massa dos polos para o Equador aumenta essa “resistência”.
- Observação adicional (não pedida, mas boa para fixar): pela conservação do momento angular (
constante se não há torque externo significativo), se aumenta a velocidade angular diminui — a Terra pisaria mais devagar, o dia ficaria ligeiramente mais longo.
Resposta
Aumenta.